§ 16. Механическая работа. Мощность

Определения и обозначения

Механическая работа — это работа силы при перемещении тела: A = Fs cos α. Буква A обозначает работу, F — силу, s — перемещение, а α — угол между направлениями силы и перемещения. Формула нужна, чтобы учитывать не только величину силы, но и её направление.

Джоуль — единица механической работы в СИ. Один джоуль равен работе силы 1 Н при перемещении тела на 1 м в направлении силы: 1 Дж = 1 Н·м. Эта единица позволяет сравнивать работу разных сил и выражать результат одним стандартным числом.

Мощность — физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы. Средняя мощность определяется отношением работы ко времени: P = A/t, где t — промежуток времени. Она показывает, сколько работы в среднем выполняется за единицу времени.

Ватт — единица мощности в СИ. Мощность равна 1 Вт, если за 1 с совершается работа 1 Дж: 1 Вт = 1 Дж/с. Ватты используют для характеристики двигателей, подъёмников и других устройств, выполняющих работу.

Как это устроено

Работа силы возникает только тогда, когда тело перемещается под действием силы. Если сила приложена, но тело остаётся неподвижным, перемещение равно нулю и работа равна нулю. Поэтому для работы важны одновременно действие силы и изменение положения тела.

Не вся сила действует в направлении перемещения: её можно мысленно разложить на составляющую вдоль движения и составляющую поперёк него. Поперечная составляющая не продвигает тело по направлению перемещения, поэтому в работу входит только F cos α. Отсюда для постоянной силы получается формула A = Fs cos α.

Угол α определяет и величину, и знак работы. При α = 0° сила полностью направлена по перемещению, поэтому A = Fs; при увеличении угла косинус уменьшается. Если α = 90°, cos α = 0 и работа равна нулю, а при угле больше 90° косинус отрицателен.

Положительную работу совершает сила, помогающая движению: например, тяга двигателя при разгоне. Отрицательную работу выполняет сила, направленная против перемещения, например трение или сопротивление воздуха. Нулевая работа возможна при перпендикулярной силе, как у силы, направленной к центру при равномерном движении по окружности.

Средняя мощность равна отношению всей работы ко времени её совершения: P = A/t. Если тело движется со скоростью v, то за время t оно проходит перемещение s = vt, и при постоянной силе P = Fvt/t = Fv cos α. Значит, при одинаковой силе мощность тем больше, чем выше скорость в направлении действия силы.

Одинаковую работу можно совершить за разные промежутки времени. Например, два двигателя могут поднять один и тот же груз на одну высоту, но более мощный двигатель сделает это быстрее. Мощность позволяет сравнить именно быстроту процесса, не смешивая её с общим количеством выполненной работы.

Механическая работа и мощность

В таблице собраны основные формулы и зависимости. При решении задачи сначала определите, какая величина известна и какой угол образуют сила с перемещением. Затем выберите строку таблицы и проверьте единицы результата.

Работа измеряется в джоулях, а мощность — в ваттах. Если сила направлена вдоль движения, в формулах можно положить cos α = 1.

Разбор задач

Задача 1

Тело перемещают на 5 м горизонтально, прикладывая силу 10 Н под углом 60° к направлению движения. Найдём работу этой силы.

1. Записываем формулу: A = Fs cos α.
2. Подставляем значения: A = 10 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = 0,5, получаем A = 50 · 0,5 = 25 Дж.

Ответ: работа силы равна 25 Дж. Половина силы направлена вдоль перемещения, поэтому работа вдвое меньше, чем при силе 10 Н, направленной по движению.

Задача 2

Сила трения 4 Н действует на движущееся тело, которое переместилось на 3 м. Определим работу трения и объясним её знак.

1. Сила трения направлена противоположно перемещению, поэтому α = 180°.
2. Используем формулу: A = 4 · 3 · cos 180°.
3. Поскольку cos 180° = −1, получаем A = −12 Дж.

Ответ: работа силы трения равна −12 Дж. Минус показывает, что трение отбирает механическую энергию у движущегося тела и препятствует его перемещению.

Задача 3

Двигатель равномерно перемещает груз со скоростью 2 м/с, действуя вдоль движения с силой 600 Н, в течение 10 с. Найдём работу двигателя и его мощность.

1. Перемещение равно s = vt = 2 · 10 = 20 м.
2. Сила направлена вдоль движения, поэтому cos α = 1. Работа A = Fs = 600 · 20 = 12 000 Дж.
3. Мощность P = A/t = 12 000/10 = 1 200 Вт. Тот же результат даёт формула P = Fv = 600 · 2.

Ответ: двигатель совершит работу 12 000 Дж, его мощность равна 1 200 Вт. Равномерность движения не отменяет работу двигателя: он компенсирует действие сил сопротивления.

Типичные ошибки

Ошибка: считать работу равной Fs при любом направлении силы. Так поступают, когда забывают о направлении векторов; нужно проверить угол α и множитель cos α.

Ошибка: путать путь и перемещение. Путь описывает длину траектории, а в формуле работы постоянной силы используется перемещение и угол между ним и силой; полезно нарисовать направление движения.

Ошибка: считать работу трения положительной из-за ненулевого модуля силы. При обычном движении трение направлено против перемещения, поэтому α = 180° и работа отрицательна.

Ошибка: путать работу и мощность. Работа показывает переданную энергию, а мощность — скорость её передачи; проверьте, есть ли в формуле время и какая единица получилась.

Связь с другими темами

Для изучения работы нужны понятия силы, перемещения, скорости, угла между векторами и единиц СИ. Работа связывает механику с законом сохранения энергии и теоремой об изменении кинетической энергии: работа сил может изменять энергию движения тела. Мощность применяется при изучении механизмов и машин, позволяя оценивать быстроту выполнения их энергетических процессов.

Что запомнить

• Работа постоянной силы: A = Fs cos α.
• Работа зависит от составляющей силы вдоль перемещения.
• Работа может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
• Единица работы — джоуль: 1 Дж = 1 Н·м.
• Средняя мощность равна работе, делённой на время: P = A/t.
• При движении вдоль направления силы мощность равна P = Fv.
• Единица мощности — ватт: 1 Вт = 1 Дж/с.