§ 26. Механическая работа. Мощность

Определения и обозначения

Механическая работа — скалярная физическая величина, характеризующая действие силы при перемещении тела. Для постоянной силы A = Fs cos α, где F — модуль силы, s — перемещение, α — угол между направлением силы и перемещением. Формула нужна, чтобы определить, какая часть силы действительно передаёт телу энергию вдоль пути.

Мощность характеризует быстроту совершения работы. Среднюю мощность за время t находят по формуле N = A/t, а мгновенную — по формуле N = Fv cos α, где v — скорость тела. Различие важно: средняя мощность относится ко всему промежутку времени, а мгновенная описывает работу силы в данный момент.

Единица работы в СИ — джоуль (Дж). Из формулы работы следует, что 1 Дж = 1 Н·м: сила 1 Н совершает работу 1 Дж, если перемещение в её направлении составляет 1 м. Эта единица позволяет сопоставлять работу с энергией, которая измеряется в джоулях.

Единица мощности в СИ — ватт (Вт). По формуле средней мощности 1 Вт = 1 Дж/с, то есть мощность равна одному ватту, если за каждую секунду совершается работа в один джоуль. Ватт помогает сравнивать, как быстро разные устройства выполняют работу.

Как это устроено

Сила может быть направлена не вдоль перемещения, а под некоторым углом к нему. Чтобы понять, как она влияет на движение по данному пути, силу мысленно раскладывают на составляющие: вдоль перемещения и поперёк него. Поперечная составляющая не продвигает тело вдоль пути, поэтому в работу входит только проекция силы на направление перемещения — F cos α. Отсюда и появляется зависимость A = Fs cos α: работа зависит от силы, перемещения и угла между ними.

Знак работы определяется знаком cos α. При остром угле сила имеет составляющую в сторону перемещения, косинус положителен, и работа положительна. При тупом угле составляющая направлена против перемещения, поэтому косинус и работа отрицательны: сила препятствует движению. Если угол прямой, проекция равна нулю, значит, сила не передаёт энергию вдоль пути и её работа равна нулю.

Формула A = Fs cos α сразу даёт три часто встречающихся случая. Когда сила направлена вдоль перемещения, α = 0°, cos α = 1 и A = Fs. Если сила направлена строго против перемещения, α = 180°, cos α = −1 и A = −Fs. Если сила перпендикулярна перемещению, α = 90°, cos α = 0 и A = 0.

Мощность нужна, чтобы учитывать не только объём выполненной работы, но и время. Если работа A совершена за время t, средняя мощность равна N = A/t: при одинаковой работе больше мощность у того, кто затратил меньше времени. Для равномерного движения за время t тело проходит путь s = vt. Подставляя это в формулу работы и деля результат на время, получаем N = Fs cos α/t = Fv cos α.

Если сила меняется по мере движения, одной формулы с неизменным F недостаточно. На качественном уровне можно представить путь разделённым на очень малые участки, на каждом из которых силу считают почти постоянной. На каждом таком участке находят вклад работы с учётом направления силы, а затем складывают все вклады. Поэтому на разных участках работа может иметь разные знаки, а общая работа равна их сумме.

Механическая работа и мощность

Сначала определите, какая именно величина требуется: работа, средняя или мгновенная мощность. Затем выберите соответствующую формулу и проверьте, известны ли все входящие в неё данные. Для работы особенно важно учесть угол, а для мощности — не перепутать время всего процесса со скоростью в данный момент.

Разбор задач

Задача 1. На тележку действует сила 20 Н вдоль направления движения. Какую работу совершит сила, если тележка переместится на 3 м? Сила направлена вдоль перемещения, поэтому угол равен 0°, а cos 0° = 1. В этом случае можно использовать сокращённую формулу A = Fs.

1. Записываем данные: F = 20 Н, s = 3 м, α = 0°.
2. Подставляем в формулу A = Fs cos α: A = 20 · 3 · 1 = 60 Дж.
3. Проверяем единицы: Н·м соответствует джоулю.

Ответ: сила совершит работу 60 Дж.

Задача 2. Груз перемещают на 5 м силой 40 Н, направленной под углом 60° к перемещению. Найдите работу силы. Сила направлена не вдоль пути, поэтому брать целиком произведение Fs нельзя: нужно учесть её проекцию на направление движения. Для этого используем формулу с косинусом угла.

1. Записываем данные: F = 40 Н, s = 5 м, α = 60°.
2. Находим проекцию силы: F cos 60° = 40 · 0,5 = 20 Н.
3. Вычисляем работу: A = Fs cos α = 40 · 5 · 0,5 = 100 Дж.

Ответ: работа силы равна 100 Дж.

Задача 3. Двигатель равномерно перемещает тело со скоростью 4 м/с, действуя силой 500 Н вдоль движения. Найдите работу за 2 минуты и мощность двигателя. Сначала переведём время в секунды и найдём путь: при равномерном движении s = vt. Затем вычислим работу, а мощность — как отношение работы ко времени; результат можно проверить по формуле N = Fv.

1. Переводим время: t = 2 мин = 120 с. Находим путь: s = vt = 4 · 120 = 480 м.
2. Сила направлена вдоль движения, поэтому A = Fs = 500 · 480 = 240 000 Дж.
3. Находим среднюю мощность: N = A/t = 240 000/120 = 2000 Вт.
4. Проверяем: N = Fv = 500 · 4 = 2000 Вт.

Ответ: работа равна 240 000 Дж, мощность двигателя — 2000 Вт.

Типичные ошибки

Ошибка — использовать A = Fs, если сила направлена под углом к перемещению. Так поступают, когда не замечают, что часть силы действует поперёк пути и не совершает работу вдоль него. Нужно применять A = Fs cos α и проверить, совпадает ли направление силы с направлением перемещения. Если угол не равен нулю, пропуск косинуса обычно меняет ответ.

Ещё одна ошибка — считать работу положительной при любом направлении силы. Её допускают, если оценивают только величины силы и пути, не учитывая направление. Проверьте знак cos α: при тупом угле работа отрицательна, а при прямом равна нулю. Такой вывод согласуется с тем, помогает сила движению, мешает ему или действует поперёк пути.

Работу иногда путают с мощностью, потому что обе величины описывают совершение механического действия. Но работа характеризует передачу энергии, а мощность показывает, как быстро она передаётся. Перед вычислением проверьте, спрашивают ли в задаче джоули или ватты. Если указан промежуток времени и требуется мощность, время должно участвовать в расчёте.

Нельзя смешивать единицы и подставлять минуты в формулу мощности, когда ответ нужен в ваттах. Ошибка возникает из-за невнимательности к тому, что ватт равен джоулю в секунду. Переведите минуты в секунды до вычисления и убедитесь, что сила выражена в ньютонах, путь — в метрах, а работа — в джоулях. Так размерность результата поможет заметить неверный перевод.

Связь с другими темами

Для применения формулы работы нужно уметь находить силу, перемещение и проекцию вектора на заданное направление. Также пригодятся единицы СИ: ньютон, метр, секунда. Проекция позволяет учесть, какая часть силы направлена вдоль перемещения.

Работа связана с изменением кинетической и потенциальной энергии. Эта связь понадобится при изучении законов сохранения энергии: работа сил помогает описывать переход энергии из одной формы в другую. Поэтому вычисление работы — один из способов анализировать движение тела.

Понятие мощности используют при сравнении двигателей и других устройств. Оно показывает, какую работу устройство выполняет за единицу времени, и применяется в задачах о равномерном движении. Формула N = Fv позволяет связывать мощность с силой тяги и скоростью.

Что запомнить

• Работа постоянной силы равна A = Fs cos α.
• α — угол между силой и перемещением.
• Работа может быть положительной, отрицательной или нулевой.
• Единица работы — джоуль: 1 Дж = 1 Н·м.
• Средняя мощность равна отношению работы ко времени: N = A/t.
• При равномерном движении N = Fv cos α.
• Единица мощности — ватт: 1 Вт = 1 Дж/с.