§ 25. Реактивное движение

Определения и обозначения

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части вещества. Причина изменения скорости в том, что тело и отделившаяся часть взаимодействуют: при сохранении импульса системы изменение импульса одной части компенсируется изменением импульса другой. Это понятие помогает объяснить движение ракет и других тел, которые выбрасывают вещество.

Реактивная сила — сила, с которой отделяемое вещество действует на тело. Она возникает при выбросе: поток вещества оказывает на тело действие, направленное противоположно движению потока. Реактивная сила объясняет, откуда у тела появляется ускорение и тяга.

Ракета — тело, движение которого обеспечивается выбросом части собственного запаса вещества. Топливо и окислитель ракета несёт с собой, поэтому для тяги ей не требуется воздух, от которого можно было бы оттолкнуться. Это позволяет ракетам двигаться в космическом вакууме.

Скорость истечения — скорость выбрасываемого вещества относительно тела. Её направление важно: газы, уходящие назад, создают изменение скорости ракеты вперёд. Если скорость дана относительно Земли, а не ракеты, при расчёте нужно учитывать движение самой ракеты.

Как это устроено

Чтобы понять, почему тело меняет скорость, сначала мысленно объединяют его с той частью вещества, которую оно собирается выбросить. До выброса эта система движется как одно целое, а после состоит из двух частей с разными скоростями. Взаимодействие между ними перераспределяет импульс, но само по себе не меняет общий импульс системы. Поэтому нельзя описывать выброс, рассматривая только оставшееся тело.

Закон сохранения импульса применим, если внешние силы на систему отсутствуют или их влиянием можно пренебречь за время выброса. Тогда сумма импульсов частей до события равна сумме импульсов после него: pдо = pпосле. Например, если система изначально покоилась, её начальный импульс равен нулю, значит, импульсы тела и выброшенного вещества после разделения должны взаимно компенсироваться. При заметном действии внешних сил нужно учитывать их импульс.

Представим тележку, которая выбрасывает груз назад. Груз получает импульс назад, а тележка — вперёд, чтобы их суммарный импульс остался прежним. Если тележка с грузом до выброса покоилась, их импульсы равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому после отделения тележка начинает двигаться навстречу выброшенному грузу.

В ракете топливо сгорает, а образовавшиеся газы выбрасываются через сопло. Газы получают импульс в сторону истечения, ракета — противоположный импульс и тягу; по мере выброса её масса уменьшается. Воздух для такого взаимодействия не нужен: ракета действует на газы, которые сама же выбрасывает, а не отталкивается от окружающей среды.

Изменение скорости ракеты определяется скоростью истечения газов и изменением массы ракеты. Для идеализированной ракеты уравнение Циолковского записывают так: Δv = u ln(m₀/m₁), где u — скорость истечения относительно ракеты, m₀ — масса до расходования топлива, а m₁ — масса после. При большей скорости газов или большей доле израсходованного топлива изменение скорости больше. Формула предполагает, что внешними силами можно пренебречь.

Реактивное движение: тело и выбрасываемое вещество

Таблица помогает сопоставить направления движения и импульсов двух частей одной системы. В задачах сначала выберите направление выброса за положительное или отрицательное, а затем последовательно используйте этот выбор для всех скоростей. Противоположные направления должны отражаться знаками в уравнении импульсов.

Разбор задач

Задача 1. Тележка массой 4 кг покоится на гладкой горизонтальной поверхности. С неё горизонтально выбрасывают груз массой 1 кг со скоростью 4 м/с относительно земли. Найдём скорость тележки. Выберем направление движения груза за положительное.

1. Система «тележка — груз» до выброса покоилась, поэтому её импульс равен нулю. После выброса тележка массой 4 кг получает скорость v, а груз массой 1 кг движется со скоростью 4 м/с. Записываем сохранение импульса: 0 = 4v + 1 · 4.
2. Выражаем скорость тележки: 4v = −4, откуда v = −1 м/с. Минус показывает, что тележка движется в сторону, противоположную грузу. Гладкая поверхность позволяет пренебречь горизонтальным внешним воздействием.

Ответ: скорость тележки равна 1 м/с в направлении, противоположном выбросу груза. Проверка знака подтверждает физический смысл: импульсы тележки и груза компенсируют друг друга. При записи уравнения важно использовать массу тележки после выброса, равную 4 кг.

Задача 2. Человек массой 60 кг стоит на льду и бросает горизонтально назад предмет массой 2 кг со скоростью 6 м/с относительно берега. Найдём скорость человека после броска. Направление броска обозначим отрицательным, а движение человека вперёд — положительным.

1. До броска человек и предмет покоятся, следовательно, общий импульс системы равен нулю. После броска предмет имеет скорость −6 м/с, а человек массой 60 кг — скорость v. Уравнение сохранения импульса: 0 = 60v + 2 · (−6).
2. Отсюда 60v = 12 и v = 0,2 м/с. Положительный знак означает, что человек движется в сторону, противоположную броску. Масса предмета после броска не входит в массу человека, поскольку предмет уже отделился.

Ответ: скорость человека равна 0,2 м/с вперёд. Здесь скорость предмета задана относительно берега, поэтому её можно непосредственно подставить в закон сохранения импульса для выбранной системы отсчёта. Если бы скорость была задана относительно человека, сначала потребовалось бы связать скорости в одной системе отсчёта.

Задача 3. Ракета выбрасывает газы со скоростью 2 км/с относительно ракеты. Её масса уменьшается с 10 т до 8 т. Оценим изменение скорости по уравнению Циолковского. В условии скорость истечения указана относительно ракеты, поэтому она непосредственно соответствует u в формуле.

1. Записываем Δv = u ln(m₀/m₁). Подставляем данные: Δv = 2 · ln(10/8) км/с. Отношение масс безразмерно, поэтому результат имеет единицы скорости u.
2. Вычисляем: 10/8 = 1,25, а ln(1,25) ≈ 0,223. Тогда Δv ≈ 2 · 0,223 = 0,446 км/с, или примерно 446 м/с. Значение показывает увеличение скорости ракеты в направлении, противоположном истечению газов.

Ответ: изменение скорости составляет приблизительно 0,45 км/с. Это оценка для модели, в которой внешними силами пренебрегают. При расчёте особенно важно не перепутать начальную и конечную массы: отношение m₀/m₁ здесь больше единицы.

Типичные ошибки

Считать, что ракета движется, отталкиваясь от воздуха, — неверно. Такое объяснение кажется привычным из-за опыта с воздушными струями, но тяга ракеты появляется при выбросе газов, а не при контакте с атмосферой. Проверка проста: если бы ракете требовался воздух, она не могла бы двигаться в вакууме, однако продукты сгорания топлива выбрасываются и там.

Не учитывать, относительно чего задана скорость истечения, — значит подставить в расчёт не ту скорость. Скорость газа относительно ракеты отличается от его скорости относительно Земли, если ракета уже движется. Перед вычислениями проверьте формулировку условия и выберите единую систему отсчёта для скоростей в уравнении.

Записывать импульсы тела и выброшенного вещества в одном направлении ошибочно: при выбросе в одну сторону тело получает импульс в противоположную. Путаница часто появляется, когда не выбрано положительное направление или забыты знаки скоростей. Проверка: если система до выброса покоилась и внешние силы малы, сумма импульсов после выброса должна быть нулевой.

Применять закон сохранения импульса только к ракете нельзя, потому что её импульс меняется при выбросе газов. Закон сохраняет импульс системы «ракета — выбрасываемое вещество», а не обязательно одной ракеты. Чтобы проверить выбор системы, включите в неё все тела, которые обмениваются импульсом во время рассматриваемого события.

Связь с другими темами

Для изучения реактивного движения нужны понятия импульса тела и системы, а также закон сохранения импульса. Без них нельзя связать скорость ракеты с движением выброшенных газов и правильно учесть направления. Применение темы особенно заметно при описании движения ракет и космических аппаратов, которым не нужна опора в виде воздуха.

Более подробное описание ракеты относится к механике переменной массы: масса тела меняется, когда оно расходует топливо и выбрасывает газы. Для идеализированного случая используют уравнение Циолковского, связывающее изменение скорости с относительной скоростью истечения и отношением масс. Оно развивает ту же идею сохранения импульса, но позволяет оценивать движение ракеты при длительном выбросе вещества.

Что запомнить

• Реактивное движение возникает при отделении части вещества от тела.
• Тело и выброшенное вещество получают импульсы противоположных направлений.
• Для расчётов рассматривают систему «тело — выбрасываемое вещество».
• Если внешним воздействием можно пренебречь, импульс системы сохраняется.
• Ракета движется благодаря выбросу газов и не нуждается в воздухе.
• Изменение скорости ракеты зависит от скорости истечения газов и изменения массы ракеты.