§ 24. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Здесь m измеряется в килограммах, а v — в метрах в секунду. Импульс помогает учитывать одновременно, насколько массивно тело и насколько быстро оно движется.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел системы: P = p₁ + p₂ + … . Буквой p обозначают импульс одного тела, а P — всей системы. Это обозначение нужно, чтобы не путать движение отдельного участника взаимодействия с общим движением системы.

Замкнутая система — система тел, на которую внешние силы не действуют или действие этих сил взаимно компенсируется. Внутренние силы возникают между телами самой системы. Такое условие позволяет рассматривать изменение импульса системы без влияния окружающих объектов.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел остаётся постоянной. Иными словами, общий импульс до взаимодействия равен общему импульсу после него. Закон нужен, чтобы находить неизвестные скорости, даже если само взаимодействие сложно описать подробно.

Как это устроено

Импульс является вектором, потому что скорость — векторная величина: она задаёт и быстроту движения, и его направление. При умножении скорости на положительную массу направление не меняется, поэтому импульс направлен так же, как скорость тела. Если тела движутся по одной прямой, можно выбрать направление оси за положительное, а движение в обратную сторону записывать со знаком минус.

Когда два тела взаимодействуют, каждое действует на другое с силой. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению; они приложены к разным телам и потому не уравновешивают движение каждого тела по отдельности. Но за одно и то же время действия сил изменения импульсов тел оказываются противоположными. Поэтому внутренние силы могут перераспределить импульс между телами, но не меняют их общий импульс.

Внешние силы действуют на систему со стороны тел, которые в неё не включены. Если их результирующая отлична от нуля, она сообщает системе дополнительный импульс, и полный импульс может измениться. Следовательно, для сохранения суммарного импульса нужно, чтобы результирующее внешнее действие отсутствовало. В задачах иногда допустимо считать систему замкнутой приближённо, если внешние силы малы или действуют очень короткое время.

Закон записывают в векторном виде: P₁ = P₂, где индексы обозначают состояния системы до и после взаимодействия. Для двух тел это равенство принимает вид m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′; штрихом отмечены скорости после взаимодействия. Если тела движутся вдоль одной прямой, равенство решают с учётом знаков скоростей. Если направления различны, импульсы складывают как векторы, например по отдельности для горизонтальной и вертикальной осей.

При столкновении тела обмениваются импульсами, но общий импульс замкнутой системы остаётся прежним. При разлёте тел исходный импульс распределяется между частями: даже если система до взрыва покоилась, осколки могут разлететься в разные стороны, сохраняя нулевую векторную сумму. При выстреле пуля получает импульс вперёд, а оружие — импульс назад; при этом их импульсы компенсируются. Та же идея лежит в основе реактивного движения: ракета движется в одну сторону, выбрасывая газы в противоположную.

Импульс тела и закон сохранения импульса

В таблице собраны основные обозначения и ситуации. Для решения задачи сначала определите, какие тела входят в систему и можно ли считать её замкнутой. Затем запишите импульсы до и после взаимодействия, не забывая про направления.

Разбор задач

Столкновение тележек

Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 1 кг. После столкновения они движутся вместе. Нужно найти их общую скорость. Выберем положительное направление по движению первой тележки.

1. Считаем две тележки замкнутой системой на время столкновения. До удара импульс первой тележки равен 2 · 3 = 6 кг·м/с, а второй — нулю. Поэтому начальный суммарный импульс равен 6 кг·м/с.
2. После столкновения тележки движутся вместе, значит их общая масса равна 2 + 1 = 3 кг. Обозначим общую скорость через v и применим сохранение импульса: 6 = 3v. Из этого равенства получаем v = 2 м/с.

Общая скорость тележек равна 2 м/с и направлена туда же, куда двигалась первая тележка. Проверка разумности результата: после столкновения движется большая масса, поэтому скорость стала меньше исходных 3 м/с. Ответ: 2 м/с.

Прыжок с лодки

Человек массой 60 кг прыгает с неподвижной лодки массой 140 кг со скоростью 2 м/с относительно берега. Найдём скорость лодки. До прыжка человек и лодка покоились, поэтому начальный импульс системы равен нулю.

1. Рассматриваем человека и лодку вместе и пренебрегаем внешним горизонтальным воздействием. Выберем положительным направление прыжка. Скорость человека после прыжка равна +2 м/с, а скорость лодки обозначим v.
2. Запишем сохранение импульса: 0 = 60 · 2 + 140v. Отсюда 140v = −120, поэтому v = −120/140 ≈ −0,86 м/с. Минус показывает, что лодка движется против направления прыжка.

Человек и лодка получают противоположно направленные импульсы, сумма которых остаётся нулевой. Ответ: лодка движется со скоростью примерно 0,86 м/с в сторону, противоположную прыжку.

Разлёт осколков

Пусть снаряд до разрыва двигался со скоростью v₀ вдоль оси x, а его масса равна m₁ + m₂. После разрыва первый осколок массы m₁ движется со скоростью v₁, второй имеет массу m₂ и неизвестную скорость. Угол между направлениями движения осколков сам по себе не задаёт их скорости, поэтому результат удобно записать через компоненты известного импульса первого осколка.

1. Выбираем ось x вдоль начального движения снаряда, а ось y перпендикулярно ей. Начальный импульс имеет компоненты Pₓ = (m₁ + m₂)v₀ и Pᵧ = 0. Система осколков замкнута на короткое время разрыва.
2. Обозначим компоненты скорости второго осколка v₂ₓ и v₂ᵧ, а первого — v₁ₓ и v₁ᵧ. По оси x: m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)v₀, поэтому v₂ₓ = ((m₁ + m₂)v₀ − m₁v₁ₓ)/m₂. По оси y: m₁v₁ᵧ + m₂v₂ᵧ = 0, откуда v₂ᵧ = −m₁v₁ᵧ/m₂.
3. Находим модуль скорости второго осколка: v₂ = √(v₂ₓ² + v₂ᵧ²). Его направление задают найденные компоненты: знак v₂ₓ показывает сторону по оси x, а знак v₂ᵧ — сторону по оси y. Если снаряд до разрыва покоился, в формулах достаточно положить v₀ = 0.

Численный ответ зависит от масс, начальной скорости и скорости первого осколка, поэтому без их численных значений его не найти. Координатный способ позволяет определить и скорость, и направление второго осколка. Ответ: компоненты скорости приведены в решении, модуль равен √(v₂ₓ² + v₂ᵧ²).

Типичные ошибки

Складывают скорости вместо импульсов. Так поступают, когда забывают, что вклад тела зависит и от его массы: одинаковые скорости у лёгкого и тяжёлого тел не означают одинаковые импульсы. Проверяйте, что в каждом слагаемом есть произведение m на v. В ответе должны складываться импульсы всех тел системы, а не только их скорости.

Приравнивают модули импульсов, не учитывая направления. Это возможно лишь в особых случаях, а общий закон является векторным равенством. Ошибку часто допускают, когда не выбирают ось и считают все скорости положительными. Проверьте направление каждого тела и поставьте отрицательный знак для движения против выбранного направления.

Применяют закон к системе с заметной внешней силой. Тогда суммарный импульс системы может изменяться, потому что внешний объект передаёт ей импульс. Причина ошибки — считать систему замкнутой, не выяснив, какие тела и силы в неё входят. Перед расчётом перечислите внешние силы и оцените, можно ли пренебречь их результирующим действием.

Путают импульс тела с импульсом силы. Формула p = mv задаёт импульс тела, а не изменение импульса под действием силы. Путаница возникает из-за похожих названий физических величин. Проверьте, что вопрос задачи требует найти: движение тела описывают величиной mv, а изменение импульса связано с действием силы за время.

Связь с другими темами

Для работы с импульсом нужны масса, скорость, векторное сложение и третий закон Ньютона. Закон сохранения применяют при изучении столкновений, реактивного движения, отдачи оружия и движения ракет. Он дополняет законы движения и помогает исследовать процессы, в которых скорость тел резко меняется. Позже его удобно сопоставлять с законом сохранения механической энергии: оба закона помогают связывать состояние системы до и после процесса.

Что запомнить

• Импульс тела равен произведению его массы на скорость.
• Импульс тела имеет направление скорости.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов её тел.
• Внутренние силы не изменяют полный импульс замкнутой системы.
• В замкнутой системе суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после него.
• При решении задач необходимо учитывать направления движения тел.
• Закон сохранения импульса применим к столкновениям, отдаче и реактивному движению.