"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Импульс связывает массу тела с его движением и помогает описывать взаимодействия, например столкновения и разлёт частей системы. Если внешние силы отсутствуют или уравновешены, суммарный импульс системы не меняется: его значение до взаимодействия равно значению после. Это закон сохранения импульса. Чтобы применять его, нужно складывать импульсы как векторы и учитывать направления движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. В системе СИ его измеряют в кг·м/с, а направление импульса совпадает с направлением скорости. Эта величина позволяет учитывать одновременно, насколько тело массивно и как быстро оно движется.
Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Его обозначают суммой импульсов отдельных тел, например p₁ + p₂. Такое описание нужно, когда тела взаимодействуют: импульсы отдельных тел могут меняться, хотя общий импульс системы остаётся прежним.
Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или действие этих сил взаимно компенсируется. Внутренними называют силы взаимодействия тел друг с другом, а внешними — силы со стороны объектов вне системы. Понятие замкнутости помогает определить, можно ли применить закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса утверждает, что суммарный импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным. Поэтому сумма импульсов до взаимодействия равна сумме после него. Закон помогает находить неизвестные скорости, даже если подробности взаимодействия неизвестны.
При взаимодействии двух тел они действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, согласно третьему закону Ньютона. За одинаковый промежуток времени эти силы создают равные по модулю и противоположные импульсы силы, то есть вызывают противоположные изменения импульсов тел. Поэтому изменение импульса одного тела компенсируется изменением импульса другого, если рассматривать только их взаимное действие.
Для системы тел сумма изменений импульсов равна изменению её суммарного импульса. В замкнутой системе внутренние взаимодействия не меняют общий импульс: один и тот же обмен импульсом для одного тела является потерей, а для другого — приобретением. Следовательно, суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после него: Σpдо = Σpпосле.
Импульс является вектором, поэтому складывать нужно не только его величины, но и направления. В задачах на прямолинейное движение удобно выбрать ось: направленные вдоль неё импульсы считать положительными, а направленные против неё — отрицательными. Тогда векторное равенство записывают через проекции, например m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂, где скорости получают знаки по выбранной оси.
Закон применим и к столкновению, и к разлёту тел: в обоих случаях тела обмениваются импульсами, а направление процесса не отменяет их взаимной компенсации. Во время короткого столкновения внешние силы часто успевают изменить импульс системы совсем немного по сравнению с силами взаимодействия тел. Поэтому систему можно приближённо считать замкнутой и сравнивать её импульсы до и после события.
Если на систему заметно действуют внешние силы, они могут изменить её суммарный импульс. Например, трение о поверхность передаёт системе импульс извне, и равенство импульсов до и после уже нельзя использовать без поправки на это воздействие. Сначала нужно оценить внешние силы за время процесса и только затем решать, можно ли пренебречь их влиянием.
| Что рассматриваем | Обозначение и выражение | Особенности |
|---|---|---|
| Импульс отдельного тела | p = mv | Вектор, направлен как скорость |
| Импульс системы тел | Σp = p₁ + p₂ + … | Векторная сумма импульсов всех тел |
| Импульс замкнутой системы до взаимодействия | Σpдо | Сумма импульсов тел до события |
| Импульс замкнутой системы после взаимодействия | Σpпосле | Равен Σpдо |
| Условие сохранения импульса | Σpдо = Σpпосле | Система замкнута |
Сначала определите, какие тела входят в систему и можно ли считать её замкнутой. Затем запишите импульсы до и после взаимодействия с направлениями или знаками проекций. Таблица помогает не перепутать импульс отдельного тела с суммой для системы.
Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдём её импульс и укажем направление. Поскольку направление скорости в условии не уточнено, ответ о направлении можно дать только относительно её движения.
Ответ: 6 кг·м/с в направлении скорости тележки. Масса и модуль скорости задают величину импульса, а направление движения завершает его описание как вектора.
Два тела движутся навстречу друг другу по прямой, а после столкновения сцепляются. Известны массы m₁ и m₂ и модули скоростей v₁ и v₂; требуется найти общую скорость. Числовые значения в условии не заданы, поэтому запишем решение для этих величин.
Ответ: u = (m₁v₁ − m₂v₂)/(m₁ + m₂). Если числитель положителен, тела движутся по выбранной оси, если отрицателен — против неё; при нуле они после столкновения покоятся.
Два тела покоятся на гладком льду, а затем разлетаются в противоположные стороны. Известны массы m₁ и m₂ и скорость первой части v₁; требуется найти скорость второй. Гладкий лёд позволяет пренебречь горизонтальным внешним воздействием, поэтому начальный импульс системы равен нулю.
Ответ: проекция скорости второй части v₂ = −m₁v₁/m₂, а её модуль равен m₁v₁/m₂. При смене направления оси знаки проекций изменятся, но предсказание о противоположных направлениях движения сохранится.
Ошибка — складывать модули импульсов, не учитывая направления. Её допускают, когда забывают, что импульс — вектор, и считают любой вклад положительным. Проверьте выбранную ось: тела, движущиеся навстречу друг другу, должны иметь проекции с разными знаками.
Нельзя записывать закон сохранения для одного тела вместо всей замкнутой системы. Импульс отдельного тела меняется при взаимодействии, потому что оно получает или передаёт импульс другому телу. Для проверки перечислите все тела системы и сложите их импульсы до и после события.
Сам факт взаимодействия тел не делает систему замкнутой: на неё могут действовать внешние силы, например трение или сила со стороны опоры. Ошибка возникает, когда учитывают только силы между телами и забывают о внешнем воздействии. Проверьте, какие объекты оставлены за границами системы и могут ли их силы заметно изменить её импульс.
Импульс тела не следует путать с импульсом силы: это разные физические величины. Путаница возникает из-за похожих названий и связи импульса силы с изменением импульса тела. В записи p = mv речь идёт об импульсе тела; сверяйте формулу и единицы: у импульса тела кг·м/с.
Для работы с законом нужны формула импульса тела и понимание второго и третьего законов Ньютона. Второй закон связывает изменение импульса с действием силы, а третий объясняет, почему силы взаимодействующих тел равны и противоположны. Также понадобится сложение векторов и вычисление проекций: именно они помогают правильно учесть направления движения.
Закон сохранения импульса используют в задачах о столкновениях, отдаче и реактивном движении. Во всех этих случаях можно рассматривать обмен импульсами между телами или частями системы. Условие замкнутости и выбранное направление оси определяют, как записать уравнение.
Почему импульс тела зависит от направления движения?
Импульс — векторная величина, потому что скорость имеет направление, а масса является положительным числом. Поэтому импульс направлен так же, как скорость тела.
Что значит, что система тел замкнутая?
Это значит, что внешние силы на тела системы не действуют либо уравновешивают друг друга. Тогда суммарный импульс системы не изменяется.
Можно ли применять закон сохранения импульса при столкновении?
Да, если рассматриваемая система замкнута или внешние силы за время столкновения дают пренебрежимо малое изменение импульса. Закон подходит и для столкновений, после которых тела движутся отдельно, и для случаев, когда они сцепляются.
Почему импульсы двух сталкивающихся тел не всегда равны по модулю?
Равными и противоположно направленными являются изменения импульсов тел при их взаимодействии. А сами импульсы до или после столкновения зависят от начальных движений и масс, поэтому не обязаны быть равны по модулю.
Как выбрать направление оси в задаче на закон сохранения импульса?
Ось можно направить в любую сторону, но удобнее выбрать направление движения одного из тел. Скорость в этом направлении записывают со знаком «плюс», а в противоположном — со знаком «минус»; при другом выборе оси знаки изменятся, но физический результат останется тем же.
§ 23. Закон сохранения импульса
