§ 14. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Здесь p — импульс, m — масса, v — скорость; единица измерения — кг·м/с. Импульс позволяет учитывать одновременно массу и движение тела.

Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или их действие скомпенсировано. Внутри системы тела могут взаимодействовать друг с другом. Такое условие нужно, чтобы суммарный импульс не изменялся из-за внешнего воздействия.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему: pсист = p₁ + p₂ + … . Складывать нужно с учётом направлений векторов. Эта величина описывает движение системы в целом.

Закон сохранения импульса утверждает: при взаимодействии тел замкнутой системы её суммарный импульс остаётся неизменным. Следовательно, импульс системы до взаимодействия равен импульсу после него. Закон особенно удобен для кратковременных столкновений и разлёта тел.

Как это устроено

Импульс направлен так же, как скорость, потому что масса — скаляр, а умножение вектора скорости на положительное число не меняет его направления. Модуль импульса равен p = mv, поэтому тяжёлое медленное тело может иметь такой же импульс, как лёгкое быстрое. При сравнении движений нельзя учитывать только скорость или только массу.

Во время взаимодействия тела действуют друг на друга силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Это следует из третьего закона Ньютона. За одно и то же время силы сообщают телам противоположные по направлению и равные по модулю изменения импульса.

Если импульс одного тела изменился на Δp₁, то импульс второго изменился на Δp₂ = −Δp₁. Сумма этих изменений равна нулю: Δp₁ + Δp₂ = 0. Поэтому один участник взаимодействия теряет столько импульса, сколько другой получает, и суммарный импульс не меняется.

Закон применим к замкнутой системе, но в реальной задаче внешние силы иногда всё же присутствуют. Тогда нужно оценить их импульс за рассматриваемое время: если он мал по сравнению с импульсами взаимодействующих тел, внешним воздействием можно пренебречь. Например, при коротком ударе влияние трения часто считают несущественным.

В векторной форме закон записывают так: p₁ + p₂ = p₁′ + p₂′, где штрих означает состояние после взаимодействия. Для расчётов выбирают ось и переходят к проекциям: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′. Знаки проекций показывают, в какую сторону движутся тела.

Импульс тела и закон сохранения импульса

Таблица помогает различать саму физическую величину, условие её применения и результат закона. В задачах сначала определите систему, затем выберите направление оси и проверьте единицы. Формулы в строках можно использовать как краткий алгоритм записи решения.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдём его импульс и направление. Направление импульса совпадает с направлением скорости.

1. Записываем формулу: p = mv.
2. Подставляем значения: p = 2 кг · 3 м/с = 6 кг·м/с.
3. Указываем направление: импульс направлен по движению тела.

Ответ: p = 6 кг·м/с, в направлении скорости тела.

Задача 2. Тележка массой 4 кг движется вправо со скоростью 2 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 2 кг, после чего они сцепляются. Выберем вправо положительным направлением и применим закон сохранения импульса.

1. До столкновения: pдо = 4 · 2 + 2 · 0 = 8 кг·м/с.
2. После сцепления движется масса 4 + 2 = 6 кг, поэтому 6v = 8.
3. Находим скорость: v = 8/6 ≈ 1,33 м/с; знак положительный, значит, движение вправо.

Ответ: общая скорость тележек примерно 1,33 м/с вправо.

Задача 3. Тела массами 3 кг и 2 кг движутся навстречу: первое со скоростью 4 м/с вправо, второе — 3 м/с влево. После столкновения первое движется влево со скоростью 1 м/с. Ось направим вправо и найдём скорость второго тела.

1. Записываем сохранение проекций: 3 · 4 + 2 · (−3) = 3 · (−1) + 2v₂.
2. Слева получаем 12 − 6 = 6, справа −3 + 2v₂.
3. Отсюда 2v₂ = 9 и v₂ = 4,5 м/с; положительный знак означает движение вправо.

Ответ: второе тело после столкновения движется со скоростью 4,5 м/с вправо.

Типичные ошибки

Складывать модули импульсов без направлений. Так делают, забывая, что импульс — вектор. Выберите ось и поставьте знаки у скоростей, направленных в разные стороны.

Применять закон к незамкнутой системе без проверки. Внешняя сила способна изменить суммарный импульс. Оцените её действие за время взаимодействия и объясните, почему им можно пренебречь или почему нельзя.

Путать импульс тела с импульсом силы. Импульс тела вычисляют по формуле p = mv, а импульс силы связан с действием силы за время. Сверяйте не только формулу, но и единицы: у импульса тела кг·м/с.

Считать, что скорости отдельных тел сохраняются. При взаимодействии они обычно изменяются, хотя сохраняется сумма импульсов системы. Проверьте равенство суммарного импульса до и после, а не каждой отдельной скорости.

Связь с другими темами

Для понимания закона нужны второй и третий законы Ньютона, понятия массы, скорости и силы, а также сложение векторов и их проекции. Через третий закон Ньютона объясняется взаимная компенсация изменений импульса.

Закон используют в задачах о столкновениях, сцеплении и разлёте тел, отдаче оружия и реактивном движении. Он позволяет находить неизвестную скорость, даже если подробный процесс взаимодействия неизвестен.

Что запомнить

• Импульс тела равен произведению массы на скорость: p = mv.
• Импульс — векторная величина.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов её тел.
• В замкнутой системе суммарный импульс сохраняется.
• Направления импульсов учитывают через проекции на выбранную ось.
• Сохранение суммарного импульса не означает сохранения импульса каждого тела.