2. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Буквой p обозначают импульс, m — массу, v — скорость. Импульс направлен так же, как скорость, поэтому он показывает не только количество движения, но и его направление.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему: pсист = p₁ + p₂ + … . Складывают именно векторы, а не только их числовые значения: направленные в разные стороны импульсы могут частично или полностью компенсироваться. Это позволяет описывать движение всей системы, даже когда скорости её частей меняются.

Замкнутая система — система тел, на которую внешние силы не действуют или их действие можно считать пренебрежимо малым. Внутренние силы между телами системы при этом могут действовать. Такое условие нужно, чтобы применять закон сохранения импульса без поправки на влияние окружающих тел.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел остаётся постоянной при их взаимодействии. Иными словами, суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после него. Импульсы отдельных тел при этом могут измениться.

Как это устроено

Импульс — вектор, потому что в его формуле стоит скорость, а она имеет и модуль, и направление. При неизменной массе изменение импульса Δp связано с действием силы: чем дольше действует сила и чем она больше, тем сильнее может измениться скорость и импульс. Поэтому при описании движения важно учитывать, куда направлено воздействие.

Рассмотрим два тела, которые взаимодействуют друг с другом. По третьему закону Ньютона силы взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению: F₁₂ = −F₂₁. Эти силы действуют в течение одного и того же времени, поэтому изменения импульсов тел тоже равны по модулю и противоположны: Δp₁ = −Δp₂. Это объясняет, почему изменение движения одного тела сопровождается противоположным изменением движения другого.

Внутренние силы — это силы, с которыми тела системы действуют друг на друга. Они меняют импульсы отдельных тел, но при сложении изменений дают ноль: Δp₁ + Δp₂ = 0. Значит, суммарный импульс системы не меняется, хотя её части могут начать двигаться иначе. Внешние силы способны изменить сумму, поэтому для закона нужна замкнутая система или такой короткий промежуток, когда внешним воздействием можно пренебречь.

Закон записывают как pдо = pпосле, то есть как равенство векторных сумм импульсов всех тел до и после взаимодействия. Если движение происходит по одной прямой, выбирают ось и записывают компоненты со знаками. Если движение не прямолинейное, уравнение составляют отдельно для каждой оси: например, сохраняют сумму проекций на x и отдельно на y. Так векторное равенство превращается в уравнения, которые удобно решать.

Для столкновения или разлёта сначала определяют, какие тела входят в систему и можно ли считать её замкнутой. Затем задают положительное направление осей и записывают импульсы тел до и после события. Учитывают, что при столкновении тела могут двигаться вместе или раздельно, а при разлёте части получают скорости в разных направлениях. После этого решают уравнение сохранения импульса и проверяют, согласуется ли знак результата с выбранной осью.

Импульс тела и закон сохранения импульса

В таблице сначала найди, что именно описывается: отдельное тело или вся система. Затем проверь условие замкнутости и выбери подходящую запись закона. Для прямолинейного движения используй проекции на ось, не забывая о знаках скоростей.

Разбор задач

1. Импульс тележки

Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Требуется найти её импульс и указать направление. Для модуля импульса достаточно перемножить массу и скорость. Направление результата совпадает с направлением движения тележки.

1. Запишем формулу: p = mv.
2. Подставим данные: p = 2 кг · 3 м/с = 6 кг·м/с.
3. Укажем направление: импульс направлен вдоль скорости тележки.

Ответ: 6 кг·м/с в направлении движения тележки.

2. Взаимодействие тележек

Две тележки массами 1 кг и 2 кг первоначально покоятся на гладкой поверхности. После взаимодействия первая движется со скоростью 4 м/с вправо, а скорость второй нужно найти. Система из тележек замкнута по горизонтали: поверхность гладкая, а горизонтальным внешним воздействием можно пренебречь. Выберем вправо за положительное направление.

1. До взаимодействия обе тележки покоились, поэтому суммарный импульс равен нулю.
2. Запишем закон после взаимодействия: 0 = m₁v₁ + m₂v₂.
3. Подставим известные величины: 0 = 1 · 4 + 2v₂, откуда v₂ = −2 м/с.
4. Минус показывает, что вторая тележка движется против выбранного положительного направления, то есть влево.

Ответ: скорость второй тележки равна 2 м/с влево.

3. Разлёт осколков

Снаряд массой 10 кг летит горизонтально со скоростью 200 м/с и разрывается на два осколка. Масса одного осколка 4 кг, он продолжает движение в прежнем направлении со скоростью 350 м/с. Нужно найти скорость второго осколка. Выберем направление полёта снаряда за положительное, а систему из снаряда и осколков считаем замкнутой на короткое время разрыва.

1. До разрыва импульс равен pдо = 10 · 200 = 2000 кг·м/с.
2. Масса второго осколка: 10 − 4 = 6 кг.
3. Запишем равенство импульсов: 2000 = 4 · 350 + 6v₂.
4. Получаем 2000 = 1400 + 6v₂, поэтому v₂ = 100 м/с.
5. Знак положительный, значит, второй осколок движется в прежнем направлении полёта снаряда.

Ответ: 100 м/с в направлении первоначального движения снаряда.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать модули импульсов, не учитывая направления. Её допускают, когда забывают, что импульс является вектором; два одинаковых по модулю импульса навстречу друг другу могут взаимно компенсироваться. Выбери ось, обозначь направление каждого движения и поставь знаки до сложения.

Вторая ошибка — применять закон сохранения импульса, не проверив замкнутость системы. Если внешняя сила заметно действует, суммарный импульс системы может изменяться. Перед расчётом перечисли внешние воздействия и реши, можно ли ими пренебречь в рассматриваемом направлении и за нужное время.

Третья ошибка — считать, что при взаимодействии сохраняется импульс каждого тела. На самом деле силы могут изменить скорости и импульсы отдельных тел, а сохраняется только их сумма для замкнутой системы. Проверь себя, сравнив отдельно импульсы до и после и затем сложив их с учётом направлений.

Четвёртая ошибка — путать направление скорости с положительным направлением оси и терять знак компоненты импульса. Скорость сама по себе направлена по движению, но её проекция на выбранную ось может быть отрицательной. Нарисуй стрелку оси и рядом укажи знак каждой скорости: так легче заметить неверную подстановку.

Связь с другими темами

Для понимания импульса нужно знать массу и скорость, а также уметь складывать векторы и применять третий закон Ньютона. Эти знания объясняют, откуда берётся направление импульса и почему изменения импульсов взаимодействующих тел компенсируются. Навык разложения вектора на проекции помогает решать задачи, где тела движутся не по одной прямой.

Закон сохранения импульса используют при изучении столкновений, отдачи и реактивного движения. Он позволяет связать скорости тел до и после взаимодействия, даже если подробности самого процесса неизвестны. В задачах сначала выбирают систему и проверяют внешние силы, а затем составляют уравнения для нужных направлений.

Что запомнить

• Импульс тела равен произведению массы на скорость: p = mv.
• Импульс тела направлен так же, как его скорость.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов её тел.
• В замкнутой системе суммарный импульс сохраняется.
• При взаимодействии импульсы отдельных тел могут изменяться.
• В задачах на одной оси направления импульсов учитывают знаками.