З Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Единица импульса — килограмм-метр в секунду (кг·м/с), направление совпадает с направлением скорости. Импульс позволяет учитывать сразу и массу, и движение тела, поэтому он полезен при описании столкновений.

Импульс силы — произведение силы на время её действия. Для постоянной силы FΔt = Δp, то есть импульс силы равен изменению импульса тела; единица — ньютон-секунда (Н·с), что равно кг·м/с. Эта связь показывает, как сила за определённое время меняет движение тела.

Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или их действие взаимно компенсируется. Внешними называют силы со стороны объектов, не включённых в систему, а силы между её телами — внутренними. Это условие нужно проверить, прежде чем применять закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе полный импульс до взаимодействия равен полному импульсу после него. Полный импульс — векторная сумма импульсов всех тел системы. Закон помогает находить неизвестные скорости после взаимодействия, даже если само столкновение сложно описать подробно.

Как это устроено

Второй закон Ньютона можно записать через изменение импульса: F = Δp/Δt, если сила постоянна и рассматривается её среднее действие за промежуток времени. Значит, сила сообщает телу импульс, изменяя его скорость или направление движения. При одинаковом воздействии тело большей массы получает меньшее изменение скорости, поскольку p зависит и от массы.

Рассмотрим взаимодействие двух тел в замкнутой системе. По третьему закону Ньютона силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Если взаимодействие длится одно и то же время для обоих тел, импульсы этих сил тоже равны и противоположны.

Изменение импульса каждого тела равно импульсу действующей на него силы. Поэтому при взаимодействии одного тела прибавка импульса компенсируется изменением импульса другого, а сумма импульсов остаётся прежней. Внешнего воздействия, которое могло бы изменить общий результат, у замкнутой системы нет — отсюда и следует закон сохранения импульса.

Импульсы складываются как векторы, потому что у них есть направления. В задаче на одной прямой удобно выбрать положительное направление: движущиеся в эту сторону скорости записать со знаком плюс, а направленные обратно — со знаком минус. Если тела движутся под углом, импульсы раскладывают на составляющие по осям и отдельно применяют закон для каждой оси.

При столкновении тела могут сцепиться и продолжить движение вместе или разлететься в разные стороны. Закон позволяет связать их скорости до и после события; при выстреле он объясняет отдачу оружия, а при выбросе газа — движение ракеты в противоположную сторону. Во всех случаях импульсы частей системы перераспределяются, а их векторная сумма сохраняется, если внешним воздействием можно пренебречь.

Импульс тела и закон сохранения импульса

Сначала определите, какая система рассматривается, и проверьте условие её замкнутости. Затем выберите оси и запишите импульсы с учётом направлений; для движения по прямой удобно использовать знаки. Единицы в обеих частях уравнения должны совпадать.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 2 м/с, затем сцепляются. Нужно найти скорость общей массы после столкновения. Считаем систему замкнутой на время столкновения и направим ось вдоль движения первого тела.

1. Записываем данные со знаками: v₁ = +4 м/с, v₂ = −2 м/с. Отрицательный знак показывает, что второе тело движется против выбранного направления.
2. Применяем закон сохранения: m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v. Подставляем значения: 2·4 + 3·(−2) = 5v.
3. Получаем 2 = 5v, поэтому v = 0,4 м/с. Положительный ответ означает движение в сторону первоначального движения первого тела.

Ответ: общая скорость равна 0,4 м/с в направлении движения тела массой 2 кг. Если бы получилось отрицательное значение, это означало бы движение в противоположную сторону. Тела сцепились, поэтому после удара у них одна общая скорость.

Задача 2. Человек массой 60 кг стоит на неподвижной лодке массой 240 кг и прыгает со скоростью 4 м/с относительно берега. Требуется найти скорость лодки после прыжка. До прыжка человек и лодка покоились, поэтому их суммарный импульс был нулевым.

1. Систему «человек — лодка» считаем замкнутой по горизонтали. Выбираем положительным направление прыжка человека.
2. После прыжка закон имеет вид 60·4 + 240vлодки = 0, так как импульсы направлены противоположно.
3. Решаем уравнение: 240vлодки = −240, откуда vлодки = −1 м/с. Минус указывает на движение лодки назад.

Ответ: скорость лодки равна 1 м/с, направлена противоположно прыжку. Скорость человека задана относительно берега, поэтому её можно непосредственно подставить в уравнение. Если бы она была задана относительно лодки, понадобилось бы учесть скорость лодки при переходе к скорости относительно берега.

Задача 3. Снаряд летел вдоль оси x и разорвался на два осколка; скорость первого осколка задана по модулю и направлению под углом к прежнему движению. Требуется найти скорость второго осколка. Пусть масса снаряда M, его скорость до взрыва v₀, масса первого осколка m₁, а второго — m₂ = M − m₁.

1. Начальный импульс равен (Mv₀, 0), поскольку до взрыва движение было вдоль оси x. Импульс первого осколка раскладываем: (m₁v₁cosα, m₁v₁sinα).
2. По сохранению импульса импульс второго осколка по x равен Mv₀ − m₁v₁cosα, а по y — −m₁v₁sinα.
3. Делим каждую составляющую импульса на m₂ и получаем компоненты скорости: v₂x = (Mv₀ − m₁v₁cosα)/m₂, v₂y = −m₁v₁sinα/m₂. Модуль скорости равен √(v₂x² + v₂y²).

Ответ выражается найденными компонентами и их модулем; численное значение можно вычислить, когда заданы массы, начальная скорость, скорость осколка и угол. Знак компоненты показывает направление относительно выбранной оси. Такой разбор по двум осям нужен, потому что закон сохранения импульса векторный.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать модули импульсов, не учитывая направление движения. Так поступают, когда заменяют вектор обычным числом, но у тел, движущихся навстречу, импульсы направлены противоположно. Выберите ось и поставьте скорости со знаками: проверка знаков часто сразу обнаруживает ошибку.

Вторая ошибка — применять закон, не проверив замкнутость системы. На тело могут заметно действовать внешние силы, например со стороны опоры или Земли, и тогда импульс выбранной системы изменится. Уточните границы системы и оцените действие внешних сил за время взаимодействия; если оно существенно, закон в простом виде неприменим.

Третья ошибка — путать импульс тела и импульс силы. Их названия похожи, но первый равен p = mv и описывает движение тела, а второй равен FΔt и характеризует действие силы за время. Проверьте, какая величина дана в условии, и сопоставьте единицы: кг·м/с для импульса тела и Н·с для импульса силы.

Четвёртая ошибка — считать, что при столкновении обязательно сохраняется кинетическая энергия. Это верно не для любого столкновения: при неупругом взаимодействии часть энергии переходит в деформацию, тепло или звук. Проверьте, о какой величине спрашивают: для замкнутой системы сохраняется импульс, а кинетическую энергию отдельно анализируют с учётом вида столкновения.

Связь с другими темами

Для изучения импульса нужны понятия массы и скорости, второй и третий законы Ньютона, правила сложения векторов и перевод единиц. Связь с законами Ньютона объясняет, почему изменение импульса связано с действием силы, а взаимодействие тел приводит к противоположным изменениям их импульсов. Умение работать с направлениями особенно важно в задачах, где тела движутся не по одной прямой.

Закон сохранения импульса применяют при разборе механических столкновений, отдачи и реактивного движения, в том числе движения тела переменной массы. Он дополняет закон сохранения энергии: вместе эти законы помогают анализировать взаимодействия с разных сторон. Нужно различать, какая именно величина сохраняется в рассматриваемой ситуации.

Что запомнить

• Импульс тела определяется формулой p = mv.
• Импульс тела — векторная величина, направленная так же, как скорость.
• Импульс силы равен изменению импульса тела.
• В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел сохраняется.
• При взаимодействии тел внутренние силы не изменяют полный импульс системы.
• В задачах необходимо учитывать знаки и направления скоростей.
• Сохранение импульса не означает обязательного сохранения кинетической энергии.