§ 15. Закон сохранения механической энергии

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия тела, обусловленная его движением: Eк = mv²/2. Здесь m — масса тела, v — его скорость, а единица энергии — джоуль (Дж). Формула показывает, что при увеличении скорости энергия растёт особенно быстро, потому что скорость возводится в квадрат.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, зависящая от их взаимного расположения. Для тела около поверхности Земли используют Eп = mgh, а значение h отсчитывают от выбранного нулевого уровня. Сам уровень можно выбрать по-разному, поэтому отдельно взятое значение Eп условно, а разность энергий имеет физический смысл.

Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий системы: Eмех = Eк + Eп. Она позволяет описывать движение сразу с двух сторон: учитывает и скорость тел, и их положение или деформацию. Именно эту сумму сравнивают в начальном и конечном состояниях.

Замкнутая система не испытывает внешнего воздействия, а консервативные силы совершают работу, не зависящую от траектории движения. К ним относят силу тяжести и силу упругости идеальной пружины. Благодаря этому работу таких сил можно связать с изменением потенциальной энергии, и механическая энергия сохраняется.

Как это устроено

При движении тела под действием силы тяжести его энергии меняются потому, что сила направлена вдоль перемещения и совершает работу. Если сопротивлением воздуха пренебречь, работа силы тяжести не исчезает, а уменьшает потенциальную энергию ровно настолько, насколько увеличивает кинетическую. Поэтому Eк + Eп остаётся постоянной, хотя каждое слагаемое меняется.

При падении тело перемещается вниз, в сторону силы тяжести, поэтому работа этой силы положительна. По теореме о кинетической энергии положительная работа увеличивает кинетическую энергию: ΔEк = Aтяж. Для высоты h₁ и h₂ работа равна mg(h₁ − h₂), а изменение потенциальной энергии ΔEп = mg(h₂ − h₁), поэтому ΔEк = −ΔEп.

У тела, брошенного вертикально вверх, сила тяжести направлена против движения и уменьшает скорость. Кинетическая энергия переходит в потенциальную, пока в верхней точке скорость на мгновение не станет равной нулю. Затем тело начинает падать, и потенциальная энергия снова превращается в кинетическую, а полная механическая энергия остаётся прежней.

У растянутой или сжатой пружины есть упругая потенциальная энергия Eп = kx²/2, где k — жёсткость пружины, x — деформация. После освобождения пружина действует на груз и совершает работу, поэтому её энергия уменьшается, а кинетическая энергия груза растёт. Для идеального пружинного маятника Eк₁ + kx₁²/2 = Eк₂ + kx₂²/2.

Закон сохранения механической энергии формулируют так: в замкнутой системе, где действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна. Для двух состояний это записывают: Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂. При трении часть энергии движения и взаимодействия превращается во внутреннюю энергию, поэтому механическая энергия уменьшается.

Виды механической энергии и их превращения

Сначала определите, какая энергия возрастает, а какая уменьшается, затем проверьте, есть ли потери. Если действуют только сила тяжести или сила упругости, изменения двух видов энергии компенсируют друг друга. При трении нужно учитывать переход механической энергии во внутреннюю.

Разбор задач

Падение тела

Тело массой 2 кг падает с высоты 5 м без начальной скорости. Нужно найти скорость перед ударом о землю, сопротивлением воздуха пренебрегаем.

1. Выберем поверхность земли за нулевой уровень потенциальной энергии.
2. В начале Eк₁ = 0, Eп₁ = mgh. Перед ударом Eп₂ = 0, Eк₂ = mv²/2.
3. Приравняем энергии: mgh = mv²/2. Масса сокращается, поэтому v = √(2gh).
4. При g ≈ 10 м/с² получаем v = √(2 · 10 · 5) = 10 м/с.

Ответ: скорость тела перед ударом равна 10 м/с.

Бросок вверх

Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найдём максимальную высоту без сопротивления воздуха.

1. Начнём отсчёт высоты от точки броска, поэтому в начале Eп₁ = 0.
2. В верхней точке скорость равна нулю, значит Eк₂ = 0, а вся энергия стала потенциальной: mv²/2 = mgh.
3. Сократим массу и выразим высоту: h = v²/(2g) = 20²/(2 · 10) = 20 м.

Ответ: мяч поднимется на 20 м над точкой броска.

Груз на пружине

Груз массой 0,5 кг прикреплён к пружине жёсткостью 200 Н/м. Пружину растянули на 0,10 м и отпустили. Потери энергии отсутствуют.

1. В начальном положении груз покоится, поэтому энергия равна упругой потенциальной: Eп₁ = kx²/2.
2. В положении равновесия деформация относительно этого положения считается нулевой, а энергия становится кинетической: Eк₂ = mv²/2.
3. Приравняем выражения: kx²/2 = mv²/2, откуда v = x√(k/m).
4. Подставим значения: v = 0,10√(200/0,5) = 2 м/с.

Ответ: максимальная скорость груза равна 2 м/с.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что кинетическая и потенциальная энергии сохраняются по отдельности. Так думают, потому что в формуле закона видны два отдельных слагаемых, но при движении они обычно переходят друг в друга. Проверьте себя: сравнивайте не каждую энергию, а сумму Eк + Eп.

Нельзя безоговорочно применять закон сохранения механической энергии при заметном трении или сопротивлении воздуха. Ошибку вызывает привычка использовать одну формулу для любого движения. Проверьте наличие сил сопротивления: их работа уменьшает механическую энергию и переводит её часть во внутреннюю.

Иногда в формулу потенциальной энергии подставляют высоту, не указав нулевой уровень. Это приводит к несопоставимым значениям, если в разных состояниях выбраны разные уровни отсчёта. Перед решением обозначьте уровень и используйте его одинаково во всех состояниях.

Часто путают массу с весом или забывают квадрат скорости в формуле Eк = mv²/2. Масса измеряется в килограммах, а вес является силой и измеряется в ньютонах. Проверьте размерность величин и убедитесь, что скорость возведена в квадрат.

Связь с другими темами

Для применения закона сохранения механической энергии нужны работа силы, теорема о кинетической энергии и формулы Eк и Eп. Также важно уметь описывать движение тела под действием силы тяжести. Эти знания объясняют, почему работа консервативной силы связана с изменением потенциальной энергии.

Закон помогает решать задачи на падение, броски и движение по наклонным поверхностям без подробного поиска времени и ускорения. Он используется и при изучении колебаний, где энергия переходит между кинетической и потенциальной. Позже тот же подход расширяется до закона сохранения энергии с учётом внутренней энергии.

Что запомнить

• Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
• Кинетическая энергия тела равна Eк = mv²/2.
• Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня.
• В замкнутой системе под действием только консервативных сил полная механическая энергия сохраняется.
• Уменьшение потенциальной энергии может сопровождаться увеличением кинетической.
• При трении механическая энергия превращается во внутреннюю, поэтому её сумма не сохраняется.