"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Механическая энергия описывает способность тела или системы совершать работу благодаря движению и взаимному расположению тел. Она складывается из кинетической и потенциальной энергий. Если действуют только консервативные силы, их сумма не изменяется: энергия лишь переходит из одного вида в другой. Закон помогает решать задачи о падении, движении по наклонной плоскости и упругих деформациях без подробного анализа движения в каждый момент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий системы: Eмех = Eк + Eп. Она зависит от состояния тела: его скорости и положения относительно других тел. Эта величина позволяет сравнивать начальное и конечное состояния без описания каждого мгновения движения.
Кинетическая энергия — энергия движения тела, Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Чем больше масса и скорость, тем больше запас энергии; скорость входит в формулу в квадрате. Кинетическая энергия не бывает отрицательной.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одной системы, зависящая от их взаимного положения. Например, поднятое тело взаимодействует с Землёй, а растянутая пружина — с грузом. Её значение отсчитывают относительно выбранного нулевого уровня.
Закон сохранения механической энергии утверждает: при действии только консервативных сил полная механическая энергия системы постоянна. Консервативными называют силы, работа которых определяется начальным и конечным положением. Поэтому можно записать Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2.
По теореме о кинетической энергии работа всех сил равна изменению кинетической энергии: A = Eк2 − Eк1. Для консервативной силы её работа связана с потенциальной энергией: A = Eп1 − Eп2. Приравнивая эти выражения, получаем Eк2 − Eк1 = Eп1 − Eп2, откуда следует Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2.
При падении тела его высота уменьшается, поэтому уменьшается и потенциальная энергия Eп = mgh. Работа силы тяжести сообщает телу скорость, и кинетическая энергия возрастает на такую же величину. При движении вверх происходит обратное превращение: кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная увеличивается.
Сила тяжести и сила упругости являются консервативными, потому что их работа не зависит от формы пути. Для силы тяжести важны только начальная и конечная высоты, а для пружины — начальная и конечная деформации. Поэтому при возвращении в прежнее положение система получает тот же запас механической энергии, если потерь нет.
Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают условно: им может быть поверхность Земли, нижняя точка траектории или другое удобное место. При изменении этого выбора все значения Eп сдвигаются на одну и ту же постоянную величину. Разность потенциальных энергий и, следовательно, результат расчёта остаются прежними.
Трение и сопротивление среды неконсервативны: их работа зависит от пройденного пути и обычно отрицательна. Поэтому механическая энергия уменьшается, а её часть переходит во внутреннюю энергию тела и окружающей среды. В таком случае используют связь Eмех2 − Eмех1 = Aтр или говорят, что потеря механической энергии равна выделившейся внутренней энергии.
| Величина | Формула | От чего зависит | Единица СИ | Особенности применения |
|---|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | Масса и скорость тела | Дж | Всегда неотрицательна; учитывается при движении |
| Потенциальная энергия в поле тяжести | Eп = mgh | Масса, ускорение свободного падения и высота | Дж | Нулевой уровень высоты выбирают условно |
| Потенциальная энергия упруго деформированного тела | Eп = kx²/2 | Жёсткость пружины и деформация | Дж | Применяется при растяжении или сжатии в пределах закона Гука |
| Полная механическая энергия | Eмех = Eк + Eп | Скорость и взаимное положение тел | Дж | Сохраняется при действии только консервативных сил |
| Закон сохранения при действии консервативных сил | Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2 | Начальное и конечное состояния системы | Дж | Позволяет находить скорость, высоту или деформацию |
| Изменение механической энергии при работе сил трения | ΔEмех = Aтр | Работа трения и сопротивления | Дж | При отрицательной работе механическая энергия уменьшается |
Сначала определите, какие виды энергии есть в начальном и конечном состояниях, а затем выберите подходящую строку. Если действуют только консервативные силы, приравнивайте полные энергии. При трении добавляйте работу этой силы или учитывайте переход энергии во внутреннюю.
Все величины в таблице должны быть выражены в единицах СИ. Особенно внимательно выбирайте высоту: она отсчитывается от выбранного нулевого уровня, а не обязательно от поверхности Земли.
Тело падает с высоты h = 20 м без начальной скорости. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, поэтому действует только консервативная сила тяжести. Нужно найти скорость у поверхности Земли, приняв поверхность за нулевой уровень энергии.
Ответ: скорость тела у поверхности Земли равна 20 м/с. Масса в результате не появилась, потому что одинаково входит в обе части уравнения.
Брусок массой 2 кг начинает движение со скоростью 3 м/с и без трения спускается с высоты 1,8 м. Требуется определить скорость у основания. Потенциальная энергия уменьшится, а начальная кинетическая энергия также будет участвовать в движении.
Ответ: скорость у основания примерно 6,7 м/с. Масса бруска не влияет на ответ, поскольку трение отсутствует.
Брусок массой 1 кг движется по горизонтали со скоростью 6 м/с и останавливается. Коэффициент трения равен 0,3, поэтому потенциальная энергия не меняется, а начальная кинетическая энергия расходуется на работу трения. Найдём путь до остановки.
Ответ: брусок пройдёт 6 м. Его механическая энергия не сохраняется: 18 Дж переходят во внутреннюю энергию бруска и поверхности.
Считать, что механическая энергия сохраняется при любых силах. Трение и сопротивление среды совершают работу, поэтому часть энергии уходит во внутренние процессы. Проверьте, перечислены ли в условии неконсервативные силы.
Путать потенциальную энергию с энергией тела вообще. Потенциальная энергия относится к взаимодействию, например тела и Земли или груза и пружины, и требует нулевого уровня. Назовите систему и явно укажите, откуда отсчитывается высота или деформация.
Неверно выбирать начальное и конечное состояния. Тогда можно случайно потерять начальную скорость, высоту или добавить энергию, которой в выбранном состоянии нет. Перед записью формулы составьте короткий список энергий в начале и в конце.
Считать, что кинетическая и потенциальная энергии сохраняются по отдельности. При отсутствии потерь обычно сохраняется только их сумма: одна энергия превращается в другую. Проверьте, не меняются ли скорость, высота или деформация во время движения.
Для применения закона нужны формула работы силы, теорема о кинетической энергии, выражения для работы силы тяжести и силы упругости. Он используется при изучении колебаний, движения в поле тяготения, спутников и механических установок. В более общем законе сохранения энергии учитываются также тепло, внутренняя энергия и другие процессы.
Почему потенциальную энергию можно отсчитывать от любого нулевого уровня?
Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной величины. При переносе нулевого уровня меняются значения энергии в начальном и конечном состояниях, но их разность остаётся прежней, поэтому скорость и другие физические результаты не изменяются.
Сохраняется ли механическая энергия при падении тела с сопротивлением воздуха?
Нет, механическая энергия уменьшается, поскольку сопротивление воздуха совершает отрицательную работу. Потерянная механическая энергия переходит главным образом во внутреннюю энергию воздуха и тела.
Почему при сохранении механической энергии кинетическая энергия может изменяться?
Полная механическая энергия включает кинетическую и потенциальную. При движении одна из них может уменьшаться, а другая увеличиваться, так что их сумма остаётся постоянной.
Как понять, какие силы являются консервативными?
Работа консервативной силы зависит только от начального и конечного положения тела, а не от формы траектории. К таким силам относят силу тяжести и силу упругости.
Можно ли применять закон сохранения механической энергии при наличии трения?
В обычном виде, когда сохраняется только механическая энергия, применять его нельзя. Можно учесть работу трения: уменьшение механической энергии равно энергии, переданной внутренним процессам.
§ 33. Закон сохранения механической энергии
