§ 34. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения

Определения и обозначения

Столкновение — кратковременное взаимодействие тел, при котором их скорости заметно изменяются. Слово «кратковременное» означает, что удар длится недолго по сравнению с последующим движением. Это позволяет отдельно изучать состояние тел до и после удара.

Абсолютно неупругое столкновение — столкновение, после которого тела движутся вместе с общей скоростью. Обычно тела при этом деформируются или сцепляются. Модель нужна, чтобы одним уравнением найти единую скорость слипшихся тел.

Абсолютно упругое столкновение — столкновение, при котором сохраняются и импульс системы, и её кинетическая энергия. После такого удара тела могут разлететься с другими скоростями. Эта модель описывает столкновения, при которых потерями механической энергии можно пренебречь.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел: pсист = p₁ + p₂ + … . Для замкнутой системы, на которую внешние силы не действуют или их импульсом можно пренебречь, он сохраняется. Понятие импульса помогает связать скорости тел до и после удара.

Как это устроено

Во время удара силы взаимодействия между телами очень велики, но действуют короткое время. Импульс внешней силы равен произведению этой силы на время её действия, поэтому за малый промежуток удара он часто оказывается намного меньше импульса внутренних сил. Тогда систему тел можно считать замкнутой и применять закон сохранения импульса.

При абсолютно неупругом ударе до столкновения импульс равен m₁v₁ + m₂v₂, а после него — (m₁ + m₂)v. Приравнивая эти выражения, получают v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). Знаки скоростей выбирают относительно одной оси, поэтому формула работает и для встречного движения.

Кинетическая энергия при абсолютно неупругом столкновении не сохраняется, потому что тела испытывают необратимую деформацию и нагреваются. Часть энергии движения переходит во внутреннюю энергию, звук и разрушение поверхностей. Импульс при этом сохраняется, поскольку он определяется взаимодействием тел как единой системы, а не характером деформации.

Для абсолютно упругого удара составляют сразу два уравнения: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ и ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁u₁² + ½m₂u₂². Здесь v₁, v₂ — скорости до удара, а u₁, u₂ — после него. Решение системы даёт скорости обоих тел, причём нужно выбрать вариант, соответствующий реальному столкновению.

В одномерном упругом столкновении результат зависит от масс и начальных направлений. Если одинаковые тела сталкиваются, они обмениваются скоростями; более лёгкое тело обычно сильнее меняет движение. При ударе тяжёлого тела о лёгкое лёгкое может отскочить с большой скоростью, а при ударе лёгкого о тяжёлое лёгкое часто меняет направление.

Сравнение абсолютно неупругого и абсолютно упругого столкновений

Сначала определите, сцепились ли тела после удара и можно ли считать удар упругим. Затем выберите соответствующую строку и проверьте, какие величины сохраняются. Направления движения во всех формулах учитывайте знаками.

Разбор задач

Задача 1

Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и догоняет неподвижную тележку массой 1 кг. После удара тележки сцепляются. Нужно найти общую скорость.

1. Выберем направление движения первой тележки положительным: v₁ = 3 м/с, v₂ = 0.
2. Так как тележки сцепились, используем формулу v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂).
3. Подставим значения: v = (2 · 3 + 1 · 0)/(2 + 1) = 2 м/с.

Ответ: общая скорость тележек после удара равна 2 м/с и направлена в сторону движения первой тележки.

Задача 2

Шар массой 0,2 кг движется со скоростью 5 м/с и сталкивается с неподвижным шаром массой 0,3 кг. После абсолютно неупругого удара шары движутся вместе. Найдём скорость и изменение кинетической энергии.

1. Берём направление движения первого шара за положительное: v₁ = 5 м/с, v₂ = 0.
2. Общая скорость равна v = (0,2 · 5)/(0,2 + 0,3) = 2 м/с.
3. До удара Eₖ₁ = ½ · 0,2 · 5² = 2,5 Дж, после удара Eₖ₂ = ½ · 0,5 · 2² = 1 Дж.
4. Изменение энергии: ΔEₖ = Eₖ₂ − Eₖ₁ = 1 − 2,5 = −1,5 Дж.

Ответ: шары движутся со скоростью 2 м/с; кинетическая энергия уменьшилась на 1,5 Дж.

Задача 3

Шар массой 1 кг со скоростью 4 м/с сталкивается с неподвижным шаром массой 3 кг. Удар абсолютно упругий и центральный. Требуется найти скорости шаров после столкновения.

1. Записываем сохранение импульса: 1 · 4 + 3 · 0 = 1u₁ + 3u₂.
2. Второе уравнение — сохранение кинетической энергии: ½ · 1 · 4² = ½ · 1 · u₁² + ½ · 3 · u₂².
3. Решение системы, кроме исходного варианта без столкновения, даёт u₁ = −2 м/с и u₂ = 2 м/с.

Ответ: первый шар отскочит со скоростью 2 м/с в обратную сторону, второй начнёт двигаться со скоростью 2 м/с вперёд. Знак «минус» у первой скорости показывает смену направления.

Типичные ошибки

Считать, что при любом столкновении сохраняется кинетическая энергия, неверно. Это условие относится к абсолютно упругому удару, а при неупругом часть энергии уходит на деформацию и нагрев. Проверьте вид столкновения до записи уравнений.

Приравнивать импульсы по модулям без учёта направлений опасно. У тела, движущегося навстречу, скорость относительно выбранной оси отрицательна. Нарисуйте ось и поставьте знак каждой скорости.

После абсолютно неупругого удара нельзя находить две разные конечные скорости. Сцепившиеся тела движутся как одно целое, поэтому у них одна неизвестная общая скорость. В формуле используйте массу m₁ + m₂.

Закон сохранения импульса нельзя применять без проверки системы. Внешний импульс можно отбросить только для замкнутой системы или за настолько короткое время удара, что его влияние мало. Спросите себя, действуют ли заметные внешние силы и успевают ли они изменить импульс.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны импульс тела, импульс силы и закон сохранения импульса. Без них нельзя объяснить, почему суммарный импульс до и после удара одинаков.

Также понадобятся кинетическая энергия и закон её сохранения. Они позволяют отличить абсолютно упругое столкновение от неупругого и найти конечные скорости.

Модели столкновений применяются при изучении реактивного движения, движения центра масс и взаимодействия тел. Те же законы помогают решать задачи о тележках, шарах и частицах.

Что запомнить

• В замкнутой системе импульс сохраняется при обоих видах столкновений.
• При абсолютно неупругом столкновении тела после удара движутся вместе.
• При абсолютно неупругом столкновении кинетическая энергия системы уменьшается.
• При абсолютно упругом столкновении сохраняются импульс и кинетическая энергия.
• Направления скоростей учитывают знаками, выбранными относительно оси.
• Для решения задачи сначала определяют вид столкновения, затем выбирают законы сохранения.