§ 41. Реактивное движение

Определения и обозначения

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части вещества. При выбросе газы уносят импульс, а тело получает импульс в противоположную сторону; это следует из закона сохранения импульса. Такое объяснение позволяет понять движение ракеты без опоры на окружающую среду.

Реактивная сила — сила, с которой истекающие газы действуют на ракету. Она связана с изменением импульса газов: если за одинаковое время газы уносят больший импульс, сильнее меняется импульс ракеты. Это понятие помогает оценить действие двигателя.

Ракета — тело, движущееся за счёт выброса части собственного вещества. Она несёт топливо и выбрасывает образовавшиеся газы, поэтому не нуждается ни в опоре, ни в воздухе. Это отличает ракетный двигатель от двигателя, которому для работы требуется внешняя среда.

Формула Циолковского связывает прирост скорости ракеты со скоростью истечения газов и отношением начальной массы к конечной: Δv = u ln(m₀/m₁). Здесь u — скорость газов относительно ракеты, m₀ — начальная масса, m₁ — конечная. Формула нужна, чтобы оценить разгон при расходовании топлива.

Как это устроено

Рассмотрим ракету и газ как единую замкнутую систему, на которую не действуют внешние силы. До выброса её суммарный импульс имеет некоторое значение, а после выброса должен остаться таким же. Газ получает импульс в сторону истечения, поэтому ракета получает противоположный импульс. Так закон сохранения импульса объясняет реактивное движение, а не просто описывает его.

Воздух не является опорой для ракеты: двигатель выбрасывает вещество, которое ракета везёт с собой в виде топлива. При сгорании топлива образуются газы, и их выброс меняет импульс системы «ракета — газы». В космическом вакууме нет воздуха, но сохранение импульса продолжает действовать. Поэтому ракета способна разгоняться и там.

Реактивная сила связана с тем, насколько быстро меняется импульс выбрасываемых газов. Если за одну секунду выходит большая масса газа, уносится больший импульс; если газы истекают быстрее относительно ракеты, их импульс также больше. В обоих случаях ракета получает более сильное противоположное действие. Значит, сила зависит и от скорости истечения, и от расхода газа.

Формула Циолковского записывается так: Δv = u ln(m₀/m₁), где ln — натуральный логарифм. При одинаковом отношении масс увеличение u прямо увеличивает прирост скорости, а рост отношения m₀/m₁ тоже увеличивает Δv, но логарифмически. Это значит, что удвоение отношения масс не удваивает прирост скорости. Формула применима, когда внешними силами можно пренебречь.

Топливо и конструкция пустых баков сначала входят в массу, которую нужно разгонять. Когда топливо ступени выработано, её корпус уже не помогает дальнейшему движению, но продолжает увеличивать разгоняемую массу. Сброс отработавшей ступени уменьшает массу оставшейся ракеты. Поэтому последующим ступеням легче сообщить ей большую скорость.

Величины в формуле Циолковского

Сначала установи, какие значения заданы, и проверь, что скорости выражены в одинаковых единицах. В формулу подставляют отношение начальной массы к конечной, а не наоборот. Результат для Δv получается в единицах скорости.

Разбор задач

Задача 1. Тележка массой 10 кг покоится на гладкой поверхности. С неё бросают груз массой 2 кг со скоростью 3 м/с относительно земли. Найдём скорость тележки после броска, считая, что внешним воздействием можно пренебречь. Начальный импульс системы равен нулю.

1. Выберем направление движения груза за положительное.
2. Запишем сохранение импульса: 0 = 2 кг · 3 м/с + 10 кг · v.
3. Выразим скорость тележки: v = −6/10 м/с = −0,6 м/с. Знак минус означает движение против груза.

Ответ: скорость тележки равна 0,6 м/с в сторону, противоположную движению груза. Знак показывает направление, а модуль — численное значение скорости.

Задача 2. Ракета выбрасывает газы со скоростью 2 км/с относительно ракеты, а её масса уменьшается с 1000 до 800 кг. Требуется найти прирост скорости, не учитывая внешние силы. Скорость дана в км/с, поэтому переведём её в единицы СИ.

1. Запишем формулу: Δv = u ln(m₀/m₁).
2. Подставим u = 2000 м/с и отношение масс 1000/800 = 1,25.
3. Вычислим: Δv = 2000 ln(1,25) ≈ 2000 · 0,223 ≈ 446 м/с.

Ответ: прирост скорости составляет примерно 446 м/с. Скорость истечения в этой формуле измеряется относительно ракеты, а не относительно Земли.

Задача 3. Две ракеты имеют одинаковые начальные массы и одинаковые скорости истечения, но конечная масса второй меньше. Сравним их приросты скорости и выясним, почему сброс ступеней выгоден. Обозначим общие начальную массу и скорость истечения через m₀ и u.

1. Для первой ракеты Δv₁ = u ln(m₀/m₁), для второй Δv₂ = u ln(m₀/m₂).
2. Так как m₂ < m₁, отношение m₀/m₂ больше, чем m₀/m₁.
3. Логарифм возрастает вместе с аргументом, значит Δv₂ > Δv₁.

Ответ: больший прирост скорости получает ракета с меньшей конечной массой. Сброс пустой ступени уменьшает массу, которую требуется разгонять, и тем самым увеличивает отношение масс.

Типичные ошибки

Считать, что ракета отталкивается от воздуха, — неверно: двигатель выбрасывает газы, и ракета получает импульс из-за сохранения импульса системы. Такую ошибку легко допустить, представляя ракету похожей на лодку, отталкивающуюся от воды. Проверь себя вопросом: сможет ли двигатель работать в вакууме? Да, если ракета несёт топливо и выбрасывает газы.

Если не учитывать противоположные направления движения ракеты и газа, в уравнении импульсов можно ошибиться со знаками. Часто сначала записывают только модули скоростей, забывая выбрать направление оси. Нарисуй ось и отметь стрелками газ и ракету: они направлены в разные стороны. Затем используй знаковые значения скоростей в законе сохранения импульса.

В формуле Циолковского иногда ставят отношение m₁/m₀ вместо m₀/m₁. Тогда при расходовании топлива аргумент логарифма окажется меньше единицы, и прирост скорости получится отрицательным, что противоречит условию разгона. Проверь, что начальная масса больше конечной, а дробь больше единицы. Это надёжный способ заметить ошибку.

Нельзя подставлять скорость газов относительно Земли вместо скорости истечения относительно ракеты. Эти скорости могут различаться, потому что сама ракета движется во время выброса. Ошибку допускают, когда не уточняют систему отсчёта в условии. Перед подстановкой проверь, относительно чего задана скорость; в формуле Циолковского нужна именно скорость относительно ракеты.

Связь с другими темами

Для объяснения реактивного движения нужен закон сохранения импульса, применяемый к замкнутой системе тел. Поэтому важно уметь находить импульс по массе и скорости и задавать направления движения относительно выбранной системы отсчёта. Эти знания позволяют правильно составить уравнение для ракеты и выброшенного газа. Далее тема применяется при изучении космонавтики, движения спутников и принципов работы реактивных двигателей.

Что запомнить

• Реактивное движение возникает при отделении от тела части вещества.
• Ракета движется благодаря выбросу газов, а не за счёт опоры на воздух.
• Импульс ракеты и выброшенных газов направлен противоположно.
• Скорость истечения газов в формуле Циолковского отсчитывают относительно ракеты.
• Чем больше отношение начальной массы ракеты к конечной, тем больше её прирост скорости.
• Сброс отработавших ступеней уменьшает массу ракеты и помогает увеличить скорость.