2. Работа силы тяжести

Определения и обозначения

Работа силы — это произведение модуля силы F на перемещение s и косинус угла α между ними: A = Fs cos α. Работу обозначают буквой A, а её единица измерения — джоуль (Дж). Эта формула позволяет учитывать не только величину силы и путь, но и направление действия силы.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело. Её модуль около поверхности Земли равен mg, где m — масса тела, а g — ускорение свободного падения; направление силы всегда вертикально вниз. Знание направления нужно, чтобы правильно определить угол между силой тяжести и перемещением.

Работа силы тяжести — работа, совершаемая силой притяжения Земли при перемещении тела. Если тело движется с высоты h₁ на высоту h₂, то A = mg(h₁ − h₂). По разности высот сразу можно определить и величину, и знак работы.

Потенциальная энергия — энергия тела, зависящая от его положения в поле тяжести. При выбранном нулевом уровне она равна Eₚ = mgh. Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии: A = Eₚ₁ − Eₚ₂.

Как это устроено

При вертикальном перемещении важна только разница между начальной и конечной высотами. Если тело опускается на 2 м, сила тяжести действует вдоль этого вертикального смещения, независимо от того, прошло тело эти 2 м прямо или по более длинному пути. Горизонтальные участки не меняют высоту и поэтому не добавляют работы силы тяжести. Именно поэтому длина всей траектории здесь не определяет результат.

Начнём с общей формулы A = Fs cos α. При движении вниз сила тяжести и перемещение направлены одинаково, поэтому α = 0° и cos α = 1; вертикальная работа равна mg(h₁ − h₂). При движении вверх направления противоположны, α = 180° и cos α = −1, что также приводит к формуле A = mg(h₁ − h₂), но теперь разность высот отрицательна.

При падении конечная высота меньше начальной, поэтому h₁ − h₂ > 0 и работа силы тяжести положительна: сила помогает движению. При подъёме тело перемещается против силы тяжести, поэтому работа отрицательна. При горизонтальном перемещении угол между силой и перемещением равен 90°, cos 90° = 0, а высота не меняется, поэтому работа равна нулю.

На наклонной плоскости тело проходит путь, который может быть намного длиннее вертикального подъёма или падения. Однако сила тяжести совершает работу только за счёт вертикального изменения положения: движение вдоль плоскости можно мысленно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие. Горизонтальная составляющая работы равна нулю, а вертикальная даёт A = mg(h₁ − h₂). Поэтому работа на наклонной плоскости такая же, как при вертикальном перемещении между теми же высотами.

Работа силы тяжести при разных перемещениях

В таблице сначала определите, увеличилась или уменьшилась высота, а затем проверьте знак разности h₁ − h₂. Если начальная и конечная высоты известны, длина пути для вычисления работы силы тяжести не нужна.

Разбор задач

1. Падение тела

Тело массой 2 кг падает с высоты 5 м до поверхности земли. Примем конечную высоту равной нулю, поэтому h₁ = 5 м, h₂ = 0 м, g = 10 Н/кг.

1. Запишем формулу: A = mg(h₁ − h₂).
2. Найдём перепад высот: h₁ − h₂ = 5 − 0 = 5 м.
3. Подставим значения: A = 2 · 10 · 5 = 100 Дж.

Ответ: A = 100 Дж. Работа положительна, потому что тело движется вниз в направлении силы тяжести.

2. Подъём груза

Груз массой 8 кг поднимают на 3 м. Начальная высота h₁ = 0, конечная h₂ = 3 м, а g = 10 Н/кг. Требуется найти работу именно силы тяжести, а не работу человека или подъёмного механизма.

1. Используем формулу A = mg(h₁ − h₂).
2. Вычислим разность высот: 0 − 3 = −3 м.
3. Получим: A = 8 · 10 · (−3) = −240 Дж.

Ответ: A = −240 Дж. Минус показывает, что сила тяжести направлена вниз, а перемещение груза — вверх.

3. Движение по наклонной плоскости

Брусок массой 4 кг соскальзывает с вершины наклонной плоскости длиной 6 м и высотой 2 м. Длина плоскости здесь не нужна для расчёта работы силы тяжести: важен вертикальный перепад высот. Пусть у вершины h₁ = 2 м, а внизу h₂ = 0 м.

1. Запишем формулу: A = mg(h₁ − h₂).
2. Найдём перепад высот: 2 − 0 = 2 м.
3. Вычислим работу: A = 4 · 10 · 2 = 80 Дж.
4. При вертикальном падении с высоты 2 м значения m, g и перепад высот были бы теми же, поэтому работа также равнялась бы 80 Дж.

Ответ: A = 80 Дж. Работа не зависит от длины наклонной плоскости и совпадает с работой при вертикальном падении с той же высоты.

Типичные ошибки

Подстановка длины наклонной плоскости вместо разности высот возникает из-за смешения пути и вертикального перемещения. В формуле работы силы тяжести нужна величина h₁ − h₂, а не длина склона. Проверьте себя: нарисуйте вертикальный перепад и спросите, изменилось ли положение тела по высоте.

Положительная работа при подъёме появляется, если не учитывать направления силы и перемещения. При подъёме сила тяжести направлена противоположно движению, поэтому работа отрицательна. Проверка проста: если сила мешает движению, её работа должна иметь знак «минус».

Использование A = Fs без множителя cos α даёт ошибочную ненулевую работу при горизонтальном движении. Общая формула содержит cos α, потому что работает только составляющая силы вдоль перемещения. При α = 90° косинус равен нулю.

Иногда работу связывают со скоростью или временем движения, хотя для силы тяжести при заданных высотах это не нужно. Один и тот же перепад высот даёт одинаковую работу при разных скоростях и траекториях. Проверьте формулу: в ней есть m, g, h₁ и h₂, но нет времени и скорости.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать формулу работы постоянной силы A = Fs cos α, а также понятия силы, перемещения, угла между ними и джоуля. Эти знания позволяют понять происхождение формулы работы силы тяжести.

Тема подготавливает изучение потенциальной энергии и закона сохранения механической энергии. Уменьшение потенциальной энергии тела связано с положительной работой силы тяжести.

Работа силы тяжести применяется при анализе падения тел, движения по наклонной плоскости и подъёма грузов. Она помогает сравнивать разные траектории без подробного изучения движения на каждом участке.

Что запомнить

• Работа силы тяжести определяется изменением высоты тела.
• A = mg(h₁ − h₂).
• При падении работа силы тяжести положительна.
• При подъёме работа силы тяжести отрицательна.
• При горизонтальном перемещении работа силы тяжести равна нулю.
• Работа силы тяжести не зависит от формы траектории.
• Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии.