3. Работа силы упругости

Определения и обозначения

Работа силы упругости — энергия, переданная телу силой упругости при изменении деформации. Она бывает положительной, когда сила помогает движению, и отрицательной, когда препятствует ему. Это понятие позволяет определить, сколько энергии пружина отдала телу или получила от него.

Деформация — изменение формы или размеров тела. Для пружины её обычно обозначают x и понимают как растяжение или сжатие относительно недеформированного состояния. Деформация нужна, чтобы вычислить силу упругости и запасённую пружиной энергию.

Жёсткость пружины — коэффициент k в законе Гука Fупр = kx. Он показывает, насколько сильно изменяется сила при изменении деформации на единицу длины. Чем больше k, тем труднее растянуть или сжать пружину.

Потенциальная энергия упругой деформации — энергия, запасённая деформированной пружиной. Она равна Eп = kx²⁄2 и связана с работой силы упругости. При распрямлении пружины эта энергия может перейти в кинетическую энергию тела.

Как это устроено

Силу упругости нельзя считать постоянной, потому что при растяжении или сжатии пружины её деформация всё время меняется. По закону Гука модуль силы равен Fупр = kx: в начале движения сила мала, а затем увеличивается пропорционально x. Поэтому нельзя просто взять конечную силу и умножить её на весь путь.

Работу переменной силы удобно находить по графику зависимости её модуля от деформации. На графике F(x) работа по модулю равна площади под линией между x1 и x2. При законе Гука график является прямой, поэтому нужная площадь имеет форму трапеции, а при начале из x = 0 — треугольника.

Среднее значение силы на участке от x1 до x2 равно k(x1 + x2)⁄2, а длина участка равна x2 − x1. С учётом направления силы получается Aупр = k(x1² − x2²)⁄2. Формула сразу показывает: если конечная деформация меньше начальной, работа положительна, а если больше — отрицательна.

Когда пружина возвращается к недеформированному состоянию, сила упругости направлена так же, как перемещение тела. Поэтому пружина совершает положительную работу и отдаёт накопленную энергию. При дальнейшем растяжении перемещение направлено против силы упругости, и работа становится отрицательной: энергия запасается в пружине.

Работа силы упругости зависит только от начальной и конечной деформаций, а не от траектории движения. Это связано с тем, что сила упругости консервативна: изменение её работы определяется разностью потенциальных энергий. Поэтому при возвращении к исходной деформации суммарная работа за весь цикл равна нулю.

Работа силы упругости при разных изменениях деформации

Сначала определите начальную и конечную деформации, а затем сравните их квадраты. Если деформация уменьшилась, результат положителен; если увеличилась, отрицателен. Для сложного движения можно разделить путь на участки и сложить работы, но при одинаковых начальной и конечной деформациях итог сразу равен нулю.

Разбор задач

Задача 1

Условие: пружина жёсткостью 200 Н/м растянута от недеформированного состояния на 10 см. Найдём работу силы упругости. Растяжение означает увеличение деформации, поэтому работа должна иметь отрицательный знак.

1. Переведём деформацию в СИ: x = 10 см = 0,10 м.
2. Возьмём x1 = 0 и x2 = 0,10 м.
3. Подставим значения: Aупр = 200(0² − 0,10²)⁄2 = −1 Дж.

Ответ: работа силы упругости равна −1 Дж. Минус показывает, что сила пружины направлена против растяжения.

Задача 2

Условие: пружина жёсткостью 250 Н/м растянута на 12 см, затем деформация уменьшена до 4 см. Здесь пружина распрямляется, поэтому ожидаем положительную работу. Нужно сравнить начальную и конечную деформации в метрах.

1. Переведём единицы: x1 = 0,12 м, x2 = 0,04 м.
2. Используем формулу перехода между деформациями: Aупр = k(x1² − x2²)⁄2.
3. Вычислим: Aупр = 250(0,12² − 0,04²)⁄2 = 2 Дж.

Ответ: работа силы упругости равна 2 Дж. Положительный знак означает, что пружина отдала энергию телу.

Задача 3

Условие: пружина жёсткостью 500 Н/м сжата на 8 см, после освобождения тело массой 0,2 кг движется без потерь энергии. В недеформированном положении энергия пружины полностью перейдёт в кинетическую энергию тела. Поэтому скорость найдём из закона сохранения механической энергии.

1. Переведём деформацию: x = 0,08 м.
2. Запишем энергию пружины: Eп = kx²⁄2 = 500 · 0,08²⁄2 = 1,6 Дж.
3. Приравняем её кинетической энергии: mv²⁄2 = 1,6, откуда v = √(2Eп⁄m) = √(3,2⁄0,2) = 4 м/с.

Ответ: скорость тела в момент прохождения недеформированного положения равна 4 м/с. Потерями энергии пренебрегли, поэтому вся энергия пружины стала кинетической.

Типичные ошибки

Ошибка — считать силу упругости постоянной и умножать её конечное значение на путь. Так делают по привычке, используя формулу для постоянной силы, но при деформации сила изменяется по закону Гука. Проверьте себя: если на графике F(x) получилась наклонная линия, нужна площадь под графиком, а не прямоугольник.

Ошибка — забывать знак работы при растяжении пружины. Её сила направлена к недеформированному состоянию, а перемещение при растяжении — от него, поэтому работа отрицательна. Сравните направления силы и перемещения: противоположные направления дают отрицательный результат.

Ошибка — подставлять сантиметры вместо метров. В формуле участвует квадрат деформации, поэтому ошибка в 100 раз по длине превращается в ошибку в 10 000 раз по работе. Перед вычислениями запишите x в метрах и проверьте единицу ответа: джоуль.

Ошибка — путать работу силы упругости с работой внешней силы. При медленном растяжении внешняя сила совершает положительную работу, а пружина — отрицательную работу такой же величины. Если в условии спрашивают работу пружины, используйте её направление и формулу Aупр.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон Гука, понятия силы, перемещения и работы постоянной силы, а также единицы СИ. Работа силы упругости вводит потенциальную энергию и помогает применять закон сохранения механической энергии. Эти идеи используются при изучении амортизаторов, динамометров, пружинных механизмов и колебательных систем.

Что запомнить

• Сила упругости при деформации пружины изменяется по закону Гука: Fупр = kx.
• Работа силы упругости определяется начальной и конечной деформациями.
• Aупр = k(x1² − x2²)⁄2.
• При уменьшении деформации работа силы упругости положительна.
• При увеличении деформации работа силы упругости отрицательна.
• Работа силы упругости связана с изменением потенциальной энергии пружины.
• При максимальной деформации пружина обладает наибольшей потенциальной энергией.