3. Работа силы упругости

Определения и обозначения

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против смещения его частей от положения равновесия. Её проекцию на ось обозначают Fₓ; для пружины она направлена противоположно деформации x. Это помогает определить направление силы и знак её работы.

Закон Гука описывает зависимость проекции силы упругости от деформации: Fₓ = −kx. Здесь k — жёсткость пружины, а x — её удлинение или сжатие с учётом выбранного направления оси. Закон нужен, чтобы находить силу при любой деформации.

Работа силы упругости — работа переменной силы при изменении деформации пружины. Она определяется не одним значением силы, а всей совокупностью её значений на пути. Для идеальной пружины работа зависит только от начального и конечного состояний.

Потенциальная энергия упругой деформации — энергия, запасённая деформированным телом. Она равна по модулю работе силы упругости при возвращении тела в недеформированное состояние. Эта величина позволяет решать задачи через превращение энергии.

Как это устроено

При перемещении конца пружины её деформация изменяется, а вместе с ней меняется и сила упругости. Поэтому нельзя считать силу постоянной на всём пути и умножать её конечное значение на перемещение. Работа складывается из малых работ на участках, где силу можно считать почти неизменной.

По закону Гука проекция силы линейно зависит от деформации и имеет противоположный знак. Поэтому на графике Fₓ(x) получается прямая, проходящая через начало координат и спускающаяся при положительном x. Чем больше модуль деформации, тем больше модуль возвращающей силы.

Работа при переходе от деформации x₁ к деформации x₂ равна знаковой площади под графиком проекции силы. Для линейной зависимости эта площадь выражается разностью площадей треугольников: A = k(x₁² − x₂²)/2. Начальная деформация стоит первой, потому что работа положительна при уменьшении её модуля.

Если пружину растягивают или сжимают от недеформированного состояния, сила направлена против перемещения. Поэтому на таком участке она совершает отрицательную работу, а энергия пружины увеличивается. При возвращении к нулевой деформации сила и перемещение направлены в одну сторону, и работа становится положительной.

Из формулы работы следует, что энергия деформированной пружины равна Eₚ = kx²/2. При движении энергия переходит в кинетическую или другие виды энергии, а работа силы упругости равна её убыли: A = Eₚ₁ − Eₚ₂. Квадрат деформации показывает, что удвоение растяжения увеличивает запасённую энергию в четыре раза.

Работа силы упругости при изменении деформации

Сначала определите начальную и конечную деформации, затем подставьте их в формулу работы. Если модуль деформации увеличился, результат будет отрицательным; если уменьшился — положительным. В последней строке используется равенство квадратов деформаций, поэтому энергия и суммарная работа не изменяются.

Разбор задач

Задача 1

Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 0,10 м от недеформированного состояния. Нужно найти работу силы упругости. Начальная деформация равна 0, конечная — 0,10 м, поэтому работа должна получиться отрицательной.

1. Запишем формулу: A = k(x₁² − x₂²)/2.
2. Подставим значения: A = 200(0² − 0,10²)/2 = −1 Дж.
3. Знак минус подтверждает, что сила направлена против растяжения.

Ответ: A = −1 Дж.

Задача 2

Пружину жёсткостью 300 Н/м сжали от деформации 0,04 м до деформации 0,10 м. В обоих состояниях пружина сжата, но её деформация увеличивается. Значит, сила упругости снова должна совершить отрицательную работу.

1. Берём x₁ = 0,04 м и x₂ = 0,10 м.
2. Вычисляем: A = 300(0,04² − 0,10²)/2 = 150(0,0016 − 0,01) = −1,26 Дж.
3. Меньший квадрат начальной деформации даёт отрицательную разность.

Ответ: A = −1,26 Дж.

Задача 3

Пружину растянули на 0,12 м, а затем отпустили. Требуется найти работу силы упругости при возвращении к недеформированному состоянию и изменение потенциальной энергии. Конечная деформация равна нулю, поэтому вся запасённая энергия освобождается.

1. Находим начальную энергию: Eₚ₁ = k·0,12²/2 = 0,0072k Дж.
2. Конечная энергия Eₚ₂ = 0.
3. Работа равна убыли энергии: A = Eₚ₁ − Eₚ₂ = 0,0072k Дж, а изменение энергии ΔEₚ = Eₚ₂ − Eₚ₁ = −0,0072k Дж.

Ответ: A = 0,0072k Дж; потенциальная энергия уменьшилась на 0,0072k Дж.

Типичные ошибки

Считать силу постоянной. Конечное значение силы нельзя умножать на весь путь, потому что сила меняется вместе с деформацией. Проверка: если сила начинается с нуля, график работы должен быть площадью треугольника, а не прямоугольника.

Терять минус в законе Гука. Без знака Fₓ = −kx легко направить силу в сторону деформации, хотя она возвращает тело к равновесию. Проверьте себя вопросом: сила и перемещение при растяжении направлены одинаково или противоположно?

Путать знаки работы. При увеличении растяжения или сжатия сила упругости противодействует движению, поэтому работа отрицательна; при возвращении — положительна. Быстрая проверка основана на угле между силой и перемещением.

Подставлять только конечную деформацию. При переходе между двумя деформированными состояниями работа определяется разностью квадратов x₁² и x₂². Запишите оба состояния до вычислений и убедитесь, что начальная деформация стоит первой.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение механической работы, умение находить проекцию силы на направление перемещения и закон Гука. Эти понятия объясняют формулу работы и её знак. Связь работы силы упругости с потенциальной энергией используется в задачах на закон сохранения механической энергии, где энергия пружины может переходить в кинетическую.

Что запомнить

• Сила упругости зависит от деформации и направлена против неё.
• Проекция силы упругости задаётся законом Гука: Fₓ = −kx.
• Работа силы упругости зависит от начальной и конечной деформаций.
• При растяжении или сжатии от недеформированного состояния сила упругости совершает отрицательную работу.
• Потенциальная энергия упругой деформации равна kx²/2.
• Работа силы упругости равна убыли потенциальной энергии.