3. Работа силы упругости

Определения и обозначения

Работа силы упругости — работа, которую совершает сила при изменении деформации тела. Она определяется начальным и конечным положениями тела, а не формой траектории между ними. Это позволяет найти результат, не разбирая подробно весь путь движения.

Деформация пружины — изменение её длины при растяжении или сжатии по сравнению с длиной в положении равновесия. Деформацию обозначают x: при растяжении она положительна, при сжатии отрицательна, если выбрано соответствующее направление оси. В формуле энергии и работы важен квадрат x, поэтому знак деформации на эти значения не влияет.

Потенциальная энергия деформированного тела — энергия, связанная с его деформацией. Для пружины Eп = kx²/2, причём нулевое значение выбирают в положении равновесия, где деформация отсутствует. Это понятие помогает описать запас энергии пружины и её превращение в другие виды энергии.

Жёсткость пружины — коэффициент k в законе Гука, показывающий, насколько сильно пружина сопротивляется деформации. Чем больше k, тем большую силу нужно приложить для одинакового растяжения или сжатия. Единица жёсткости — ньютон на метр (Н/м).

Как это устроено

Закон Гука записывают как Fупр = −kx. Здесь x показывает, насколько тело отклонено от равновесия, а коэффициент k задаёт силу при данной деформации. Знак минус нужен потому, что упругая сила направлена противоположно отклонению: растянутую пружину она тянет назад, а сжатую — выталкивает к равновесию. Поэтому сила стремится уменьшить деформацию.

Когда тело перемещается, деформация пружины обычно меняется, а вместе с ней меняется и сила упругости. На графике зависимости проекции силы от координаты эта зависимость изображается прямой, поэтому работу можно представить как площадь под графиком между начальным и конечным положениями. Такая площадь не равна произведению одной выбранной силы на весь путь: последнее было бы верно для постоянной силы. При линейном изменении силы удобно учитывать среднее значение силы или использовать площадь трапеции.

Для перехода от деформации x₁ к деформации x₂ работа равна Aупр = k(x₁² − x₂²)/2. Порядок величин в скобках важен: если конечная деформация меньше начальной, разность квадратов положительна, и работа силы упругости положительна. Если деформация выросла, разность отрицательна, значит, сила направлена против перемещения и совершает отрицательную работу. Формула показывает также, что для работы важны оба состояния, а не только конечная деформация.

При движении к равновесию модуль деформации уменьшается, поэтому сила упругости обычно направлена в ту же сторону, что и перемещение. В этом случае работа положительна: сила передаёт энергию телу или другим частям системы. Если же пружину растягивают или сжимают сильнее, перемещение направлено против упругой силы. Тогда её работа отрицательна, а внешнее воздействие увеличивает запас энергии пружины.

Потенциальная энергия пружины при выборе нуля в равновесии равна Eп = kx²/2. Работа силы упругости равна убыли этой энергии: Aупр = Eп₁ − Eп₂, или Aупр = −ΔEп. Квадрат деформации не бывает отрицательным, а k положительна, поэтому потенциальная энергия неотрицательна. Она равна нулю в равновесии и возрастает при увеличении модуля деформации, будь пружина растянута или сжата.

Работа силы упругости и изменение энергии пружины

Сначала сравни начальную и конечную деформации по модулю: это подскажет знак изменения энергии. Затем проверь знак работы — при уменьшении энергии пружины работа её силы положительна, а при увеличении отрицательна. Для точного значения используй формулу Aупр = k(x₁² − x₂²)/2.

Разбор задач

Возвращение растянутой пружины в равновесие

Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 0,10 м. Найдём работу силы упругости при возвращении в положение равновесия. Сила направлена к равновесию, поэтому ожидаем положительную работу.

1. Запишем формулу для перехода между состояниями: Aупр = k(x₁² − x₂²)/2. Начальная деформация x₁ = 0,10 м, конечная x₂ = 0 м, жёсткость k = 200 Н/м.
2. Подставим значения: Aупр = 200(0,10² − 0²)/2. Квадрат деформации равен 0,01 м², поэтому Aупр = 1 Дж.
3. Получили положительный знак, как и ожидали при движении к равновесию. Ответ: 1 Дж.

Растяжение пружины

Пружину жёсткостью 300 Н/м растянули от 0,04 м до 0,12 м. Требуется определить работу силы упругости. Поскольку деформация увеличивается, сила направлена против перемещения, и ответ должен быть отрицательным.

1. Обозначим начальную деформацию x₁ = 0,04 м, конечную x₂ = 0,12 м. Используем формулу Aупр = k(x₁² − x₂²)/2, не меняя порядок начального и конечного значений.
2. Подставим числа: Aупр = 300(0,04² − 0,12²)/2 = 150(0,0016 − 0,0144) = −1,92 Дж. Квадраты измеряются в м², поэтому после умножения на Н/м получаем джоули.
3. Минус означает, что работа силы упругости направлена против перемещения при растяжении. Ответ: −1,92 Дж.

Определение жёсткости по работе

При переходе от деформации 0,15 м к деформации 0,05 м сила упругости совершила работу 4 Дж. Нужно найти жёсткость пружины. Деформация уменьшается, значит, положительный знак заданной работы согласуется с движением к равновесию.

1. Запишем формулу и выразим из неё k: Aупр = k(x₁² − x₂²)/2, значит, k = 2Aупр/(x₁² − x₂²). Подставляем x₁ = 0,15 м и x₂ = 0,05 м.
2. Считаем разность квадратов: 0,15² − 0,05² = 0,0225 − 0,0025 = 0,0200 м². Тогда k = 2 · 4/0,0200 = 400 Н/м.
3. Единица верна: джоуль на квадратный метр равен Н/м. Ответ: 400 Н/м.

Типичные ошибки

Нельзя считать силу упругости постоянной на всём пути и умножать силу в конечном положении на перемещение. Такая ошибка возникает, если механически применять формулу работы постоянной силы, не учитывая закон Гука. Проверь себя: при изменении деформации меняется и модуль силы, поэтому нужно использовать формулу работы переменной силы или площадь под графиком.

Если потерять минус в законе Гука Fупр = −kx, можно перепутать направление силы и знак работы. Сила направлена к равновесию, а не обязательно туда же, куда движется тело. Проверь знак по ситуации: при растяжении сила противодействует движению, значит, её работа отрицательна.

Подстановка только конечной деформации не даёт работу между двумя положениями. Обычно так делают, потому что сосредоточиваются на состоянии, о котором спрашивает задача, и забывают исходное. Проверь, что в расчёте есть и x₁, и x₂, а при переходе от равновесия начальная деформация равна нулю.

Работа силы упругости — не то же самое, что изменение потенциальной энергии. Их знаки противоположны: Aупр = −ΔEп, потому что при совершении положительной работы запас энергии пружины уменьшается. Чтобы проверить решение, отдельно вычисли Eп₁ и Eп₂ и сравни разность Eп₁ − Eп₂ с полученной работой.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия работы постоянной силы и её проекции на направление перемещения: они помогают определить знак работы. Закон Гука объясняет, как сила связана с деформацией и почему меняется во время движения. Формулы работы и потенциальной энергии применяются вместе с законом сохранения механической энергии при движении тела на пружине.

Такие расчёты встречаются при изучении колебаний, деформаций и превращений механической энергии. Когда пружина распрямляется, её потенциальная энергия может перейти в кинетическую энергию тела. При растяжении или сжатии внешний источник, наоборот, совершает работу, увеличивая запас энергии деформированного тела.

Что запомнить

• Сила упругости направлена к положению равновесия.
• Модуль силы упругости пропорционален деформации: F = kx.
• Работа силы упругости зависит от начальной и конечной деформаций.
• Aупр = k(x₁² − x₂²)/2.
• При уменьшении деформации сила упругости совершает положительную работу.
• Потенциальная энергия деформированной пружины равна kx²/2.
• Работа силы упругости равна убыли потенциальной энергии.