"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Сила упругости возникает при растяжении или сжатии тела и стремится вернуть его к равновесию. Поскольку при деформации эта сила меняется, её работу находят не обычным произведением силы на путь, а через площадь под графиком или разность квадратов деформаций. Главная формула: A = k(x₁² − x₂²)/2. Она показывает, почему при возвращении пружины к равновесию работа положительна, а при увеличении деформации — отрицательна.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела, то есть при изменении его формы или размеров. Она направлена к положению равновесия и против смещения тела от этого положения. Это направление помогает определить знак силы и её работы.
Закон Гука описывает силу упругости при небольших, упругих деформациях: Fупр = −kx. Здесь x — смещение от равновесия, а k — жёсткость пружины в Н/м. Формула нужна, чтобы связать силу с величиной деформации.
Работа силы характеризует действие силы при перемещении тела. Для постоянной силы A = Fs cos α, где s — перемещение, а α — угол между силой и перемещением. Эта формула позволяет определить, передаёт сила энергию телу или забирает её.
Потенциальная энергия деформированной пружины — энергия, запасённая при её растяжении или сжатии: Eп = kx²/2. Работа силы упругости равна убыли этой энергии: A = Eп₁ − Eп₂. Поэтому при возвращении к равновесию энергия пружины уменьшается, а работа силы положительна.
При растяжении или сжатии пружины её части смещаются относительно положения равновесия, поэтому возникают силы, стремящиеся вернуть тело назад. Если координату x отсчитывать от равновесия, сила направлена противоположно этой координате. Поэтому в законе Гука появляется знак минус: Fупр = −kx.
Сила упругости не является постоянной: при нулевой деформации она равна нулю, а при увеличении растяжения или сжатия возрастает по модулю. Из-за этого нельзя просто подставить в формулу работы конечную силу и умножить её на весь путь. Формула A = Fs cos α в обычном виде относится к постоянной силе.
Для переменной силы удобно построить график её проекции Fупр(x). Работа на участке равна площади под графиком с учётом знака: выше оси координат площадь даёт положительный вклад, ниже — отрицательный. Для пружины график является прямой через начало координат с отрицательным наклоном, потому что Fупр = −kx.
На участке от x₁ до x₂ работа равна площади трапеции с учётом направления: A = (F₁ + F₂)(x₂ − x₁)/2. Подставляя F₁ = −kx₁ и F₂ = −kx₂, получаем A = k(x₁² − x₂²)/2. То же выражение можно получить как произведение перемещения на среднюю силу.
Если деформация увеличивается, сила направлена против перемещения, поэтому работа отрицательна. При движении к равновесию сила и перемещение направлены одинаково, и работа положительна. При переходе между точками с одинаковыми по модулю деформациями начальная и конечная потенциальные энергии совпадают, поэтому суммарная работа равна нулю.
В таблице сначала определите начальную и конечную деформации, затем подставьте их в формулу A = k(x₁² − x₂²)/2. Знак результата можно дополнительно проверить по направлениям силы и перемещения. При одинаковых деформациях работа равна нулю.
| Ситуация | Начальная и конечная деформация | Работа силы упругости | Знак и физический смысл |
|---|---|---|---|
| Переход от деформированного положения к равновесию | x₁ = x, x₂ = 0 | A = kx²/2 | Положительная; пружина отдаёт энергию |
| Увеличение деформации | |x₂| > |x₁| | A < 0 | Отрицательная; энергия запасается в пружине |
| Переход между положениями с одинаковой деформацией | |x₁| = |x₂| | A = 0 | Энергия пружины не изменяется |
| Переход между двумя произвольными деформациями | x₁ и x₂ | A = k(x₁² − x₂²)/2 | Знак определяется сравнением |x₁| и |x₂| |
Условие: пружину жёсткостью 200 Н/м растянули от 0 до 0,10 м. Найдём работу силы упругости. При растяжении сила направлена против перемещения, поэтому результат должен оказаться отрицательным.
Ответ: A = −1 Дж.
Условие: пружина жёсткостью 300 Н/м сжата на 0,08 м и возвращается в недеформированное состояние. При таком движении сила и перемещение направлены одинаково, поэтому работа ожидается положительной.
Ответ: A = 0,96 Дж.
Условие: пружину жёсткостью 400 Н/м растянули от 0,05 до 0,15 м, а затем отпустили до деформации 0,02 м. Сначала работа будет отрицательной, затем положительной, поэтому участки нужно рассчитать отдельно.
Ответ: суммарная работа равна 0,16 Дж. Она совпадает с результатом для прямого перехода от 0,05 до 0,02 м, потому что зависит только от начального и конечного состояний.
Подстановка конечной силы в формулу работы постоянной силы даёт ошибку, потому что сила упругости меняется вместе с деформацией. Так поступают, забывая о законе Гука. Проверьте себя: если сила меняется, используйте площадь под графиком или разность квадратов деформаций.
Потеря знака минус в законе Гука приводит к неверному направлению силы. Ученик может решить, что сила направлена туда же, куда и растяжение, хотя она всегда стремится уменьшить деформацию. Нарисуйте ось и стрелки силы и смещения.
Иногда работу при возвращении к равновесию считают отрицательной. Причина — внимание только к тому, что тело двигалось из деформированного положения, без сравнения направлений. Если сила и перемещение сонаправлены, работа положительна.
Использование только изменения деформации вместо разности квадратов возникает из-за механического применения формулы для постоянной силы. Работа пружины зависит не от x₁ − x₂, а от x₁² − x₂². Проверьте размерность и сравните полученный знак с физической ситуацией.
Для изучения работы силы упругости нужны закон Гука, понятия деформации и жёсткости, а также формула работы постоянной силы. Без них трудно определить направление силы и выбрать правильное выражение.
Работа упругой силы связана с потенциальной энергией пружины и законом сохранения механической энергии. При уменьшении деформации энергия пружины превращается в кинетическую энергию движущегося тела.
Расчёт работы переменной силы пригодится при изучении колебаний пружинного маятника. Та же идея используется для анализа движения в потенциальном поле, когда сила меняется от точки к точке.
Почему сила упругости записывается со знаком минус?
Знак минус показывает, что сила упругости направлена противоположно смещению от положения равновесия. Если пружину растягивают вправо, сила направлена влево, а при сжатии влево — вправо.
Почему нельзя вычислить работу силы упругости по формуле A = Fs?
Формула A = Fs cos α применима к постоянной силе. При растяжении или сжатии пружины сила меняется от точки к точке, поэтому используют площадь под графиком или формулу A = k(x₁² − x₂²)/2.
Как определить знак работы силы упругости?
Если сила упругости и перемещение направлены одинаково, работа положительна. При увеличении деформации они направлены противоположно, поэтому работа отрицательна.
От чего зависит работа силы упругости при перемещении пружины?
Она зависит от жёсткости пружины и начальной и конечной деформаций. Для идеальной пружины работа определяется только этими состояниями, а не формой траектории.
Почему работа силы упругости не зависит от траектории движения?
Сила упругости является консервативной: её работа определяется начальным и конечным состояниями. Поэтому при одинаковых начальной и конечной деформациях работа будет одной и той же.
§ 48. Работа силы упругости
