"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Сила упругости возникает при растяжении, сжатии или другой деформации тела и стремится вернуть его к исходному состоянию. При перемещении тела эта сила совершает работу, причём её величина зависит не только от пути, но и от начальной и конечной деформаций. Главные формулы темы: Fупр = kx, Aупр = k(x₁² − x₂²)⁄2 и Ep = kx²⁄2. Они связывают работу пружины с изменением её потенциальной энергии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против деформации. Она появляется при растяжении, сжатии, изгибе или закручивании и стремится вернуть тело к исходной форме. Обозначают её Fупр.
Работа силы упругости — физическая величина, равная работе этой силы при перемещении тела из одного положения в другое. Она показывает, какую энергию сила передала телу или, наоборот, отняла у него. Обозначают работу как Aупр.
Закон Гука устанавливает зависимость модуля силы упругости от деформации: Fупр = kx. Здесь k — жёсткость тела или пружины, а x — модуль деформации. Закон нужен, чтобы определить силу в любой момент растяжения или сжатия.
Потенциальная энергия упругой деформации — энергия, запасённая деформированным телом: Ep = kx²⁄2. Чем сильнее деформирована пружина, тем больше энергии в ней накоплено. При освобождении пружины эта энергия может перейти в кинетическую энергию тела.
При растяжении пружины её витки удаляются друг от друга, а при сжатии сближаются, поэтому внутренние силы сопротивляются изменению формы. Чем больше деформация, тем сильнее нарушается исходное состояние тела и тем больше сила, возвращающая его назад. Поэтому по закону Гука модуль силы растёт пропорционально x: Fупр = kx. Если выбрать координату x относительно положения равновесия и учитывать направление, закон записывают как Fупр = −kx: знак «минус» показывает противоположность силы и смещения.
Формулу A = Fs можно прямо применять только для постоянной силы. У пружины сила меняется во время движения: в начале участка она равна F₁ = kx₁, а в конце — F₂ = kx₂. Поэтому работу находят через среднее значение силы Fср = (F₁ + F₂)⁄2, умноженное на перемещение, если движение идёт вдоль одной прямой и без смены направления.
Пусть деформация изменяется от x₁ до x₂, причём x обозначает её модуль. Перемещение на участке по деформации равно x₁ − x₂, а средняя сила равна k(x₁ + x₂)⁄2. Перемножая эти выражения, получаем Aупр = k(x₁ + x₂)(x₁ − x₂)⁄2 = k(x₁² − x₂²)⁄2. Такая запись сразу учитывает начальное и конечное состояние пружины.
При движении к положению равновесия деформация уменьшается, а сила упругости направлена туда же, куда перемещается тело, поэтому работа положительна. При удалении от равновесия тело перемещается против силы, и работа отрицательна: внешняя сила увеличивает запасённую энергию пружины. Работа связана с энергией соотношением Aупр = −ΔEp. Если тело совершает замкнутое движение и возвращается в исходное положение, начальная и конечная деформации одинаковы, поэтому суммарная работа силы упругости равна нулю.
В таблице x₁ — начальная, а x₂ — конечная деформация, причём рассматриваются её модули. Сначала сравните x₁ и x₂, затем определите знак разности квадратов. Изменение потенциальной энергии всегда противоположно по знаку работе: ΔEp = −Aупр.
| Ситуация | Формула работы | Знак работы | Изменение потенциальной энергии |
|---|---|---|---|
| Переход от деформации x₁ к меньшей деформации x₂ | Aупр = k(x₁² − x₂²)⁄2 | Положительная | Уменьшается: ΔEp < 0 |
| Переход от деформации x₁ к большей деформации x₂ | Aупр = k(x₁² − x₂²)⁄2 | Отрицательная | Увеличивается: ΔEp > 0 |
| Возвращение тела из деформированного положения в положение равновесия | Aупр = kx₁²⁄2 | Положительная | Уменьшается до нуля |
| Перемещение между двумя положениями с одинаковой по модулю деформацией | Aупр = 0 | Нулевая | Не изменяется |
| Полный цикл: возвращение в исходное положение | Aупр = 0 | Нулевая | Не изменяется |
Во всех задачах сначала переведите сантиметры в метры и определите, уменьшается или увеличивается деформация. Затем выберите формулу работы или закон сохранения энергии. Такой порядок помогает не ошибиться со знаком.
Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 10 см. Нужно найти работу силы упругости при возвращении в недеформированное состояние. Конечная деформация равна нулю, поэтому сила пружины направлена так же, как перемещение конца пружины.
Ответ: Aупр = 1 Дж.
Пружина жёсткостью 300 Н/м сжата на 12 см и затем сжимается ещё на 8 см. Начальная деформация равна 0,12 м, конечная — 0,20 м. Так как деформация увеличивается, сила упругости направлена против перемещения.
Ответ: Aупр = −3,84 Дж.
Груз массой 0,5 кг прикреплён к горизонтальной пружине жёсткостью 400 Н/м. Его отводят от равновесия на 20 см и отпускают без начальной скорости. В положении равновесия деформация пружины равна нулю, поэтому начальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию груза.
Ответ: скорость груза при прохождении положения равновесия примерно равна 5,66 м/с.
Считать силу постоянной. Формула A = Fs с одной силой неприменима без проверки, потому что сила пружины меняется. Проверьте себя: если начальная и конечная деформации различны, используйте среднюю силу или разность квадратов.
Подставлять конечную деформацию вместо разности квадратов. Работа определяется двумя состояниями, поэтому формула содержит x₁² − x₂², а не только x₂. Полезная проверка — при x₁ = x₂ работа должна получаться равной нулю.
Неверно определять знак работы. При движении к равновесию сила и перемещение сонаправлены, а при удалении — противоположны. Сравните направление движения с направлением силы до вычислений.
Путать работу с потенциальной энергией. Энергия Ep = kx²⁄2 характеризует запас пружины, а работа равна её убыли: Aупр = −ΔEp. При освобождении пружины работа положительна и численно равна уменьшившемуся запасу энергии.
Для изучения работы силы упругости нужны закон Гука, понятия работы и энергии, а также теорема о кинетической энергии. Эти знания применяются в задачах на закон сохранения механической энергии и движение груза на пружине. Связь работы с потенциальной энергией помогает понять свойства консервативных сил и описывать механические колебания.
Почему работу силы упругости нельзя найти по формуле A = Fs с конечной силой?
При растяжении или сжатии пружины сила упругости изменяется от нуля или одного значения до другого. Поэтому используют среднюю силу на участке: Fср = (F₁ + F₂)⁄2, а не только конечную.
Когда работа силы упругости бывает положительной, а когда отрицательной?
Если тело движется к положению равновесия, сила и перемещение направлены одинаково, поэтому работа положительна. При удалении от равновесия направления противоположны, и работа отрицательна.
Почему в формуле работы появляются квадраты деформаций?
Сила упругости пропорциональна деформации: F = kx. При вычислении работы берётся средняя сила, а подстановка начальной и конечной сил даёт разность выражений x₁² и x₂².
Чем работа силы упругости отличается от потенциальной энергии пружины?
Потенциальная энергия показывает, сколько энергии запасено в деформированной пружине: Ep = kx²⁄2. Работа силы упругости равна уменьшению этой энергии: Aупр = −ΔEp.
Почему при возвращении пружины в исходное положение её работа равна запасённой энергии?
В недеформированном положении потенциальная энергия пружины равна нулю. Поэтому при возвращении из деформированного состояния вся начальная энергия Ep = kx²⁄2 переходит в работу силы упругости.
3. Работа силы упругости
