4. Работа силы трения

Определения и обозначения

Работа силы трения — скалярное произведение силы трения на перемещение тела с учётом угла между ними. Для постоянной силы работу находят по формуле A = Fs cos α, где α — угол между силой и перемещением. Это определение нужно, чтобы учитывать не только величину силы, но и то, помогает она движению или мешает ему.

Сила трения скольжения возникает при соприкосновении поверхностей и направлена против их относительного движения. Относительное движение — это скольжение одной поверхности по другой. Направление этой силы помогает определить знак её работы и понять, как трение влияет на движение.

Коэффициент трения μ — безразмерная величина, характеризующая взаимодействие соприкасающихся поверхностей. В модели сухого скольжения сила трения связана с нормальной реакцией формулой Fтр = μN. Коэффициент нужен, чтобы учитывать свойства поверхностей при расчётах; чем он больше, тем при той же реакции опоры больше сила трения.

Сила нормальной реакции N — сила со стороны опоры, перпендикулярная поверхности соприкосновения. Она возникает как ответ опоры на действие тела и не всегда равна силе тяжести. N используют в формуле трения, поэтому сначала определяют реакцию опоры, а уже затем находят силу трения.

Как это устроено

При обычном скольжении точки соприкасающихся поверхностей движутся относительно друг друга, и возникающая сила трения препятствует этому скольжению. Поэтому в простейшей задаче она направлена против перемещения тела. Угол между векторами силы трения и перемещения тогда равен 180°, а cos 180° = −1.

Общая формула работы постоянной силы — A = Fs cos α. Для силы трения при скольжении подставляем α = 180°: Aтр = Fтрs cos 180° = −Fтрs. Минус появляется из-за направления силы, а не из-за того, что сама сила имеет отрицательную величину. Если требуется модуль работы, он равен Fтрs, но в уравнениях энергии важно сохранять знак.

Если сила трения постоянна, то при каждом увеличении пути на одну и ту же величину она совершает дополнительную работу одинаковой величины. Поэтому Aтр пропорциональна пройденному пути s, но остаётся отрицательной при обычном скольжении. Например, при Fтр = 2 Н получаем Aтр = −2s: с увеличением s работа убывает по прямой.

Силу трения можно заменить выражением Fтр = μN. Тогда работа равна Aтр = −μNs: коэффициент трения и нормальная реакция задают величину силы, а знак минус отражает её направление против движения. На горизонтальной поверхности без других вертикальных ускорений N = mg, поэтому формула принимает вид Aтр = −μmgs. На наклонной плоскости реакция опоры обычно равна mg cos α, а не mg.

Отрицательная работа трения уменьшает механическую энергию — сумму кинетической и потенциальной энергий. Однако энергия не пропадает: при трении частицы поверхностей взаимодействуют, и часть энергии движения превращается во внутреннюю энергию тел. Поэтому поверхности могут нагреваться; в более широком описании учитывают также их деформацию и нагрев окружающих тел.

Работа силы трения в разных ситуациях

Сначала определите, есть ли перемещение и куда направлена сила трения относительно него: это позволяет установить знак работы. Затем выберите формулу, соответствующую ситуации, и подставьте величины в единицах СИ. Для наклонной поверхности отдельно найдите N, а при нулевом перемещении работа равна нулю.

Разбор задач

Задача 1. Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности на расстояние 5 м. Коэффициент трения равен 0,2. Найдите работу силы трения.

На горизонтальной поверхности при отсутствии вертикального ускорения нормальная реакция равна силе тяжести, N = mg. Значит, сила трения равна μmg. Так как она направлена против перемещения, в формуле работы нужен минус.

1. Записываем данные: m = 2 кг, s = 5 м, μ = 0,2; принимаем g = 10 м/с².
2. Находим силу трения: Fтр = μmg = 0,2 · 2 · 10 = 4 Н.
3. Вычисляем работу: Aтр = −Fтрs = −4 · 5 = −20 Дж.

Ответ: −20 Дж. Отрицательный знак соответствует тому, что трение уменьшает механическую энергию бруска.

Задача 2. Тело тянут по горизонтальной поверхности равномерно, совершая работу 600 Дж на пути 10 м. Найдите работу силы трения и коэффициент трения, если масса тела 12 кг.

Равномерное движение означает, что скорость не меняется, а равнодействующая сил равна нулю. Если тело тянут горизонтально, работа силы тяги равна произведению её величины на путь. При отсутствии других горизонтальных сил сила трения уравновешивает силу тяги.

1. Находим силу тяги: Aтяги = Fтягиs, поэтому Fтяги = 600 / 10 = 60 Н.
2. Из равновесия сил по горизонтали: Fтр = Fтяги = 60 Н. Работа трения Aтр = −Fтрs = −60 · 10 = −600 Дж.
3. Находим коэффициент: N = mg = 12 · 10 = 120 Н, поэтому μ = Fтр/N = 60/120 = 0,5.

Ответ: работа трения −600 Дж, коэффициент трения 0,5. Равные по модулю работы тяги и трения компенсируют друг друга.

Задача 3. Брусок скользит по наклонной плоскости длиной 4 м и высотой 1 м. Масса бруска 3 кг, коэффициент трения 0,25. Найдите работу силы трения.

Здесь нельзя считать нормальную реакцию равной mg: часть силы тяжести направлена вдоль плоскости, а перпендикулярная составляющая равна mg cos α. Угол наклона найдём из прямоугольного треугольника, образованного плоскостью, высотой и её длиной. Сила трения направлена против скольжения, поэтому работа отрицательна.

1. Находим cos α: cos α = √(4² − 1²)/4 = √15/4.
2. При g = 10 м/с² реакция опоры N = mg cos α = 3 · 10 · √15/4 Н.
3. Вычисляем работу: Aтр = −μNℓ = −0,25 · (30√15/4) · 4 = −7,5√15 Дж ≈ −29 Дж.

Ответ: примерно −29 Дж. Использование N вместо mg учитывает именно перпендикулярное давление бруска на наклонную плоскость.

Типичные ошибки

Записывают работу трения положительной, потому что считают только произведение силы на путь. Так происходит, если забывают о косинусе угла: при обычном скольжении он равен −1. Проверьте себя, указав направление силы и перемещения; если они противоположны, работа отрицательна.

На наклонной плоскости подставляют в Aтр = −μNs величину mg вместо N. Причина — привычка считать, что опора всегда уравновешивает весь вес тела. Проверьте, какая составляющая силы тяжести перпендикулярна поверхности: для плоскости под углом α это mg cos α, и именно она равна N при отсутствии ускорения поперёк плоскости.

Считают, что сила трения всегда направлена против перемещения тела. Но трение противодействует относительному скольжению поверхностей и в некоторых ситуациях может быть направлено в сторону движения тела. Чтобы не ошибиться, анализируйте взаимодействие тел и поверхности, а не применяйте правило автоматически; затем определяйте угол между силой и перемещением.

Путают работу с её модулем и теряют знак при вычислении изменения энергии. Модуль работы трения равен Fтрs, но при обычном скольжении сама работа равна −Fтрs. Проверьте, что в формуле с косинусом учтено направление силы: отрицательная работа должна уменьшать механическую энергию.

Связь с другими темами

Для понимания работы трения нужны понятия силы, перемещения и угла между векторами, а также формула работы постоянной силы A = Fs cos α. Сила трения скольжения и её связь с нормальной реакцией описываются законом Fтр = μN. Дальше работа трения помогает применять теорему о кинетической энергии и закон сохранения энергии, а также решать задачи о движении по наклонной плоскости.

Что запомнить

• Работа постоянной силы определяется формулой A = Fs cos α.
• При обычном скольжении сила трения направлена противоположно перемещению.
• Работа силы трения при скольжении равна Aтр = −Fтрs.
• Если Fтр = μN, то Aтр = −μNs.
• На горизонтальной поверхности при постоянной массе Aтр = −μmgs.
• Отрицательная работа трения уменьшает механическую энергию тела.
• Энергия при трении переходит главным образом во внутреннюю энергию тел.