5. Мощность

Определения и обозначения

Мощность — физическая величина, равная отношению работы к времени её выполнения; её обозначают P и измеряют в ваттах. Она показывает не количество выполненной работы, а скорость её выполнения. Поэтому по мощности можно сравнить, как быстро работают разные двигатели или устройства.

Средняя мощность — отношение всей выполненной работы к полному времени, за которое она была выполнена. Её обозначают Pср и рассчитывают как Pср = A/t, где A — работа, а t — время. Это определение удобно, когда мощность в течение процесса меняется или неизвестна.

Мгновенная мощность — мощность в данный момент времени. Её определяют как предел отношения малой работы ΔA к малому промежутку времени Δt, когда этот промежуток стремится к нулю: P = lim(ΔA/Δt). Такое понятие нужно, чтобы описывать процессы, в которых скорость выполнения работы меняется каждую секунду.

Ватт связан с работой и временем равенством 1 Вт = 1 Дж/с. Часто используют киловатт и мегаватт: 1 кВт = 1000 Вт, 1 МВт = 1 000 000 Вт; внесистемная лошадиная сила составляет примерно 735,5 Вт. Эти единицы позволяют удобно выражать мощность приборов, электростанций и двигателей.

Как это устроено

Представим, что два подъёмника поднимают одинаковый груз на одинаковую высоту. Они совершают равную работу, потому что одинаково изменяют энергию груза, но быстрый подъёмник выполняет её за меньшее время. Значит, мощность характеризует скорость выполнения работы, а не саму работу. Именно поэтому при сравнении устройств учитывают и работу, и время.

Чтобы получить среднюю мощность, всю работу делят на полное время её выполнения: Pср = A/t. Если, например, работа равна 600 Дж и заняла 3 с, средняя мощность составляет 200 Вт. Когда работа выполняется равномерно, за каждую секунду совершается одинаковая её часть, поэтому мощность постоянна. В этом случае средняя мощность совпадает с мощностью в любой момент.

При неравномерном движении за равные промежутки времени тело может получать разное количество энергии, поэтому мощность меняется. Среднее значение за весь процесс не сообщает, какой была мощность в отдельный момент. Чтобы описать её мгновенное значение, рассматривают работу за всё меньший промежуток времени и делят её на этот промежуток. Предел такого отношения и задаёт мгновенную мощность.

При прямолинейном движении под действием постоянной силы за время Δt тело проходит путь Δs = vΔt, если скорость постоянна. Работа силы равна A = FΔs, когда сила направлена по движению; подстановка пути даёт A = FvΔt. Разделив работу на время, получаем P = Fv. Следовательно, при одной и той же силе мощность больше, если тело движется быстрее.

Если сила образует со скоростью угол α, работу совершает только её составляющая вдоль движения, равная F cos α. Поэтому мощность равна P = Fv cos α, а не просто Fv. При α = 90° проекция силы на скорость равна нулю, и сила не совершает работу. Такая сила может менять направление скорости, но не передаёт энергию вдоль движения.

Виды мощности, формулы и единицы измерения

Сначала выберите строку, подходящую к условию: для всей работы за время нужна средняя мощность, а для силы и скорости — формула с углом. Затем проверьте направление силы относительно скорости и приведите величины к единицам СИ. В последней строке можно сверить перевод кратных и внесистемной единиц.

Разбор задач

Средняя мощность двигателя

Двигатель совершил работу 180 кДж за 2 мин. Определите его среднюю мощность. Здесь известны работа и полное время, поэтому подходит формула Pср = A/t. Перед делением переведём обе величины в единицы СИ.

1. Записываем данные: A = 180 кДж, t = 2 мин.
2. Переводим единицы: 180 кДж = 180 000 Дж, 2 мин = 120 с.
3. Подставляем значения: Pср = 180 000 Дж / 120 с = 1500 Вт.

Ответ: средняя мощность двигателя равна 1500 Вт, или 1,5 кВт. Проверка размерности даёт Дж/с, то есть ватт. Если не перевести минуты в секунды, численное значение мощности окажется неверным.

Мощность силы тяги

Автомобиль движется со скоростью 20 м/с, а сила тяги равна 2,5 кН. Найдите мощность двигателя, считая силу тяги направленной по движению. Сила и скорость сонаправлены, значит угол между ними равен нулю. Используем P = Fv, поскольку cos 0° = 1.

1. Записываем данные: v = 20 м/с, F = 2,5 кН.
2. Переводим силу: 2,5 кН = 2500 Н.
3. Вычисляем: P = 2500 Н · 20 м/с = 50 000 Вт = 50 кВт.

Ответ: мощность силы тяги равна 50 кВт. При умножении ньютонов на метры в секунду получается Дж/с, то есть ватт. Если сила была бы направлена под углом, следовало бы умножать также на cos этого угла.

Сила под углом к скорости

Тело перемещают силой 400 Н под углом 60° к направлению скорости 3 м/с. Определите мощность этой силы и выясните, что изменится при перпендикулярном направлении силы. Поскольку сила действует не вдоль скорости, учитываем только её проекцию на направление движения. Для этого применяем формулу P = Fv cos α.

1. Записываем данные: F = 400 Н, v = 3 м/с, α = 60°.
2. Подставляем cos 60° = 0,5: P = 400 · 3 · 0,5 = 600 Вт.
3. При перпендикулярном направлении α = 90°, поэтому cos 90° = 0 и P = 0 Вт.

Ответ: при угле 60° мощность силы равна 600 Вт, а при угле 90° — нулю. В первом случае вдоль скорости действует составляющая силы 200 Н. Во втором сила остаётся ненулевой, но не совершает работу вдоль перемещения.

Типичные ошибки

Мощность путают с работой и считают, что большая работа всегда означает большую мощность. Ошибка возникает потому, что в обеих величинах фигурирует выполненная работа, но мощность зависит ещё и от времени. Проверьте себя: при одинаковой работе процесс, занявший меньше времени, имеет большую мощность.

При вычислениях оставляют минуты, килоджоули или килоньютоны без перевода. Из-за этого единицы в формуле оказываются несогласованными, а результат не соответствует ваттам. Перед подстановкой переведите время в секунды, работу в джоули, силу в ньютоны и скорость в метры в секунду.

Формулу P = Fv применяют при любом направлении силы и скорости. Её используют потому, что забывают: работу совершает только составляющая силы вдоль движения. Проверьте угол: при произвольном направлении нужно P = Fv cos α, а при α = 0° упрощённая формула верна.

Нулевую мощность иногда принимают за доказательство отсутствия силы. Но сила может быть перпендикулярна скорости, тогда её составляющая вдоль движения равна нулю. Чтобы проверить ситуацию, сравните направления силы и скорости: при прямом угле мощность этой силы нулевая, хотя сама сила действует.

Связь с другими темами

Для изучения мощности нужны понятия работы постоянной силы, перемещения и времени, а также умение переводить единицы измерения. Формула P = Fv связывает динамику, где рассматривают силы, с кинематикой, описывающей движение и скорость. Поэтому изменение силы или скорости может повлиять на мощность.

Понятие мощности применяют при сравнении двигателей, электростанций и бытовых приборов. Оно пригодится при изучении энергетики и коэффициента полезного действия: для оценки устройства важно знать, как быстро оно передаёт или преобразует энергию. Например, мощность на этикетке прибора помогает оценить потребление энергии за время работы.

Что запомнить

• Мощность показывает, с какой скоростью совершается работа.
• Средняя мощность определяется формулой P = A/t.
• Единица мощности в СИ — ватт: 1 Вт = 1 Дж/с.
• При движении под действием постоянной силы P = Fv, если сила направлена по скорости.
• В общем случае мощность силы равна P = Fv cos α.
• При перпендикулярности силы и скорости мощность этой силы равна нулю.
• Мощность может быть постоянной или изменяться со временем.