§ 28. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия

Определения и обозначения

Работа силы тяжести — работа, которую совершает сила тяжести при перемещении тела; её обозначают Aтяж и измеряют в джоулях (Дж). Работа показывает, как сила участвует в изменении движения или энергии тела. Чтобы найти её знак, сравнивают направления силы и перемещения.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести — энергия, связанная с положением тела относительно выбранного нулевого уровня; её обозначают Ep. Она позволяет описывать запас энергии, который может измениться при подъёме или опускании тела. Сама по себе высота ещё не задаёт численное значение Ep: нужно знать, откуда её отсчитывают.

Нулевой уровень потенциальной энергии — выбранное положение, в котором потенциальную энергию принимают равной нулю. Его можно назначить там, где удобно решать задачу, например на полу или на поверхности стола. Это условие задаёт начало отсчёта высоты, а не особое физическое состояние тела.

Консервативная сила — сила, работа которой не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положениями тела. Для силы тяжести это означает, что при одинаковых начальной и конечной высотах работа будет одной и той же. Такое свойство позволяет рассчитывать работу без подробного описания пути.

Как это устроено

При падении тело перемещается вниз, туда же направлена сила тяжести. Угол между силой и перемещением равен нулю, поэтому в выражении A = Fs cos α косинус положителен и работа силы тяжести положительна. При подъёме направления силы и перемещения противоположны: косинус угла 180° отрицателен, поэтому работа отрицательна. Знак показывает, помогает ли сила движению или направлена против него.

Вблизи поверхности Земли сила тяжести почти постоянна и равна mg, где m — масса тела, g — ускорение свободного падения. Если тело переходит с высоты h₁ на высоту h₂, сила тяжести совершает работу Aтяж = mg(h₁ − h₂): при опускании разность высот положительна, при подъёме — отрицательна. При горизонтальном перемещении высота не меняется, а сила тяжести перпендикулярна перемещению, поэтому cos 90° = 0 и работа равна нулю.

Работа силы тяжести не зависит от формы пути, потому что при движении вверх и вниз промежуточные изменения высоты взаимно компенсируются. Если тело подняли между двумя точками по наклонному пути, его перемещение содержит составляющую вверх; работа определяется только разностью высот этих точек. То же значение получится при движении по прямой или кривой траектории. Поэтому в расчёте не нужны длина и изгибы маршрута — достаточно знать начальное и конечное положения.

Изменение потенциальной энергии обозначают ΔEp = Ep₂ − Ep₁, где индексы 1 и 2 указывают на начальное и конечное состояния. При опускании сила тяжести совершает положительную работу, а энергия положения уменьшается; при подъёме работа отрицательна, а Ep возрастает. Эти противоположные изменения выражаются формулой Aтяж = −(Ep₂ − Ep₁), или Aтяж = −ΔEp. Знак минус нужен, чтобы рост потенциальной энергии соответствовал отрицательной работе силы тяжести.

Для тела у поверхности Земли при выбранном нулевом уровне потенциальная энергия равна Ep = mgh, где h — высота над этим уровнем. Если нулевую отметку перенести, поменяются высоты и численные значения Ep в отдельных точках. Однако разность высот между точками останется прежней, а значит, не изменятся ни ΔEp, ни работа силы тяжести. Поэтому в задаче можно выбрать удобный уровень, но нельзя менять его посреди вычислений.

Работа силы тяжести и потенциальная энергия

Сначала по начальной и конечной высотам найдите работу или изменение энергии, а затем проверьте знак по направлению движения. В таблице высота считается относительно одного и того же выбранного нулевого уровня. Для проверки результата используйте связь Aтяж = −ΔEp.

Разбор задач

Тело опускают на 3 м

Тело массой 2 кг опустили на 3 м; нужно найти работу силы тяжести и изменение потенциальной энергии. При опускании конечная высота меньше начальной на 3 м, следовательно, h₁ − h₂ = 3 м. Возьмём g ≈ 9,8 м/с² и сначала определим знак работы по направлению силы и перемещения.

1. Запишем формулу работы: Aтяж = mg(h₁ − h₂).
2. Подставим значения: Aтяж = 2 · 9,8 · 3 = 58,8 Дж. Результат положителен, потому что сила тяжести направлена по перемещению вниз.
3. Найдём изменение потенциальной энергии: ΔEp = −Aтяж = −58,8 Дж. Минус показывает, что при опускании энергия положения уменьшилась.

Ответ: Aтяж = 58,8 Дж; ΔEp = −58,8 Дж.

Груз равномерно поднимают на 4 м

Груз массой 5 кг равномерно подняли на высоту 4 м. Равномерность движения не меняет работу силы тяжести: она определяется изменением высоты, а не скоростью подъёма. Поскольку сила тяжести направлена вниз, а перемещение вверх, её работа отрицательна; для изменения энергии это означает прибавку.

1. Запишем h₂ − h₁ = 4 м, а значит, h₁ − h₂ = −4 м.
2. Вычислим работу силы тяжести: Aтяж = mg(h₁ − h₂) = 5 · 9,8 · (−4) = −196 Дж.
3. Используем связь с энергией: ΔEp = −Aтяж = 196 Дж. Потенциальная энергия увеличилась на mgΔh, то есть на 196 Дж.

Ответ: Aтяж = −196 Дж; ΔEp = 196 Дж.

Движение между высотами 2 м и 7 м

Тело массой 1,5 кг перемещается с высоты 2 м на высоту 7 м сначала по одной наклонной траектории, затем по другой. Чтобы сравнить результаты, достаточно обратить внимание на одинаковые начальную и конечную высоты: форма пути на работу силы тяжести не влияет. Подъём составляет 5 м, поэтому работа силы тяжести будет отрицательной, а потенциальная энергия возрастёт.

1. Найдём разность высот: h₁ − h₂ = 2 − 7 = −5 м.
2. Рассчитаем работу: Aтяж = 1,5 · 9,8 · (−5) = −73,5 Дж. Такое значение получится для каждой траектории.
3. Определим изменение потенциальной энергии: ΔEp = −Aтяж = 73,5 Дж. Оно также будет одинаковым для обоих путей.

Ответ: по обеим траекториям Aтяж = −73,5 Дж, ΔEp = 73,5 Дж.

Типичные ошибки

Считать работу силы тяжести при подъёме положительной. Так ошибаются, если ориентируются только на то, что тело движется вверх и получает энергию. Но работа именно силы тяжести определяется направлением этой силы: она направлена вниз и против перемещения. Для самопроверки представьте векторы силы и перемещения и учтите, что при угле 180° cos α < 0.

Приравнивать работу силы тяжести изменению потенциальной энергии без минуса. Путаница возникает потому, что величины описывают одно и то же перемещение, но изменения у них противоположны. Правильно записывать Aтяж = −ΔEp: при положительной работе сила тяжести уменьшает Ep. Проверка проста: при подъёме Ep должна увеличиваться, а Aтяж быть отрицательной.

Считать, что работа зависит от длины или формы траектории. Это кажется правдоподобным, если вспоминать работу как произведение силы на путь. Однако для силы тяжести участки подъёма и спуска учитываются с разными знаками, а их вклад определяется итоговым изменением высоты. Сравните начальную и конечную точки: если они те же, работа силы тяжести та же.

Полагать, что у потенциальной энергии есть единственное абсолютное значение. Такое впечатление создаёт формула Ep = mgh, если забыть, откуда отсчитывается h. Нулевой уровень выбирают условно, поэтому относительно разных уровней численное Ep может отличаться, в том числе иметь отрицательное значение. Проверяйте не отдельное значение, а изменение энергии между состояниями: оно не зависит от выбранного уровня.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны определение механической работы, формула A = Fs cos α и умение определять знак по углу между силой и перемещением. Эти знания объясняют, почему сила тяжести совершает положительную работу при падении и отрицательную при подъёме. Также важно уверенно работать с массой, высотой и единицами измерения.

Потенциальная энергия связана с законом сохранения механической энергии. Если потерями можно пренебречь, уменьшение потенциальной энергии при падении переходит в увеличение кинетической энергии тела. Тот же способ рассуждения применяют к другим взаимодействиям и силовым полям, например к упругой силе и гравитационному полю.

Что запомнить

• Работа силы тяжести определяется изменением высоты тела.
• При опускании работа силы тяжести положительна, при подъёме — отрицательна.
• Работа силы тяжести не зависит от траектории.
• Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии: Aтяж = −ΔEp.
• У поверхности Земли Ep = mgh относительно выбранного нулевого уровня.
• Изменение потенциальной энергии не зависит от выбора нулевого уровня.