"Физика", Кабардин О.Ф.
Деформированное упругое тело может запасать энергию и отдавать её при возвращении к исходной форме. Например, растянутая пружина способна разогнать прикреплённый к ней предмет. В пределах применимости закона Гука сила упругости пропорциональна деформации, а энергия равна половине произведения жёсткости на квадрат удлинения: Eп = kx²/2. Поэтому энергия не зависит от того, растянуто тело или сжато, и быстро увеличивается с ростом деформации.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Упругая деформация — изменение формы или размеров тела, которое исчезает после прекращения действия силы. Например, пружина может вернуться к прежней длине после растяжения. Это происходит, пока деформация не вышла за пределы применимости закона Гука.
Жёсткость тела обозначают буквой k. Она показывает, насколько сильно тело сопротивляется деформации: чем больше k, тем большая сила нужна для такого же растяжения. Единица жёсткости в СИ — ньютон на метр (Н/м).
Удлинение x — изменение длины тела по сравнению с недеформированным состоянием. При растяжении x положительно, а при сжатии его можно считать отрицательным. Знак помогает различать виды деформации, но в формуле энергии используется квадрат x.
Потенциальная энергия упругой деформации — энергия, запасённая деформированным телом. Когда тело возвращается к исходной форме, эта энергия может перейти, например, в кинетическую энергию движения. Так можно описать работу пружины, которая разгоняет предмет.
Когда тело деформируют, его части смещаются относительно друг друга, а внутри возникают силы, стремящиеся вернуть их в прежнее положение. Это силы упругости: они направлены против смещения. Чтобы продолжать деформировать тело, внешняя сила должна преодолевать сопротивление упругости, и её работа запасается в теле как потенциальная энергия.
Для небольших деформаций сила упругости растёт пропорционально удлинению: по модулю Fупр = kx, если x обозначает растяжение. Причина такой зависимости в том, что при большем смещении части тела сильнее стремятся вернуться на прежние места. Коэффициент k зависит от материала и размеров тела: например, короткая толстая пружина обычно жёстче длинной тонкой.
Представим, что пружину растягивают медленно от нулевого удлинения до x. В начале сила почти равна нулю, а в конце достигает kx, поэтому считать работу просто как произведение конечной силы на весь путь нельзя. На графике зависимости силы от удлинения эта работа равна площади под прямой; площадь удобно найти как площадь треугольника.
У треугольника на графике основание равно x, а высота — kx. Поэтому работа внешней силы равна ½ · x · kx, то есть Eп = kx²/2. Именно столько энергии получает пружина при медленном растяжении; ту же величину можно записать через конечную силу: Eп = Fупрx/2.
Квадрат удлинения объясняет, почему энергия не становится отрицательной при сжатии: отрицательное x после возведения в квадрат даёт положительное значение. Поэтому при одинаковом по модулю растяжении и сжатии энергия одинакова. Если увеличить деформацию вдвое, квадрат увеличится в четыре раза, и запасённая энергия тоже возрастёт в четыре раза.
| Величина | Обозначение и формула | Единица СИ | От чего зависит |
|---|---|---|---|
| Удлинение | x = l − l₀ | м | От изменения длины тела |
| Жёсткость тела | k = Fупр/|x| | Н/м | От материала и размеров тела |
| Сила упругости | Fупр = k|x| | Н | От жёсткости и модуля деформации |
| Потенциальная энергия упругой деформации | Eп = kx²/2 | Дж | От жёсткости и квадрата деформации |
Сначала определите, какие величины известны, и приведите их к единицам СИ. Затем выберите строку с нужной величиной и подставьте данные в формулу. Если задача о сжатии, знак x можно сохранить, но для энергии результат всё равно будет неотрицательным.
Задача 1. Пружину растянули на 2 см. Какова её потенциальная энергия, если жёсткость равна 100 Н/м? Здесь известны k и x, поэтому подойдёт формула Eп = kx²/2. Сначала переводим удлинение в метры: 2 см = 0,02 м.
Ответ: 0,02 Дж. Малое значение удлинения здесь важно: в формуле оно возводится в квадрат, поэтому нельзя заменять 0,02 м числом 2 без перевода единиц.
Задача 2. Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 5 см. Нужно определить силу упругости и запасённую энергию. Сначала переводим 5 см в 0,05 м, затем используем закон Гука, а найденную силу — в формуле энергии. Это помогает проверить, что ответы согласуются друг с другом.
Ответ: сила упругости равна 10 Н, энергия — 0,25 Дж. Совпадение двух способов вычисления энергии подтверждает, что подстановка выполнена верно.
Задача 3. При растяжении пружины запасённая энергия равна 0,8 Дж, а жёсткость — 400 Н/м. Требуется найти удлинение и силу упругости. Из формулы энергии получаем x² = 2Eп/k; корень берём положительный, потому что речь идёт о растяжении. Затем находим силу по закону Гука.
Ответ: удлинение примерно 0,063 м, или 6,3 см; сила упругости примерно 25 Н. Отрицательный корень здесь не подходит, потому что по условию пружина растянута, а не сжата.
Не переводят сантиметры в метры. Так поступают, потому что длину часто записывают в привычных сантиметрах. Но жёсткость дана в Н/м, а в формуле энергии удлинение ещё и возводится в квадрат. Перед вычислением проверьте, что x выражено в метрах.
Забывают деление на два. Ошибка возникает, если умножить конечную силу на весь путь, будто она всё время была одинаковой. При растяжении сила постепенно увеличивается от нуля, поэтому средняя сила вдвое меньше конечной. Проверка — представить график F от x: площадь под прямой является треугольником, а не прямоугольником.
Считают энергию отрицательной при сжатии. Знак x описывает направление деформации, но не знак запасённой энергии. В выражении Eп = kx²/2 удлинение возводится в квадрат, поэтому энергия неотрицательна. Подставьте сжатие со знаком минус и проверьте, что квадрат устраняет этот знак.
Применяют закон Гука при любой деформации. Это происходит, когда формулу Fупр = kx считают универсальной для всех растяжений и сжатий. При слишком большой деформации тело может перестать возвращаться к прежней форме, а сила — перестать быть пропорциональной удлинению. Уточните, что условие задачи относится к пределам упругости, и не используйте закон Гука за их пределами.
Для понимания темы понадобятся знания о работе силы: именно работа внешней силы при деформации переходит в запасённую энергию. Также нужно знать понятия потенциальной энергии и закон Гука, а длины и жёсткость важно переводить в единицы СИ. Эти знания помогают не только подставлять числа, но и объяснять смысл формул.
Энергия упругой деформации участвует в превращениях энергии в колебательных системах, например в пружинном маятнике. Когда пружина растянута или сжата, в ней запасена потенциальная энергия; при движении груза часть её становится кинетической. Во время колебаний эти виды энергии переходят друг в друга.
Почему в формуле энергии упругой деформации есть деление на два?
Во время растяжения сила упругости растёт от нуля до конечного значения kx. Поэтому средняя сила за весь путь равна половине конечной, а работа внешней силы составляет ½kx².
Зависит ли потенциальная энергия от того, растянута пружина или сжата?
Нет, при одинаковом по модулю удлинении энергия одинакова. В формуле стоит квадрат x, поэтому знак растяжения или сжатия на значение энергии не влияет.
Как найти энергию, если известна сила упругости, но не известна жёсткость?
Если известно удлинение, используйте Eп = Fупрx/2. Эта формула получается из Eп = kx²/2 и закона Гука Fупр = kx.
Почему удлинение нужно переводить в метры?
Жёсткость в СИ измеряется в Н/м, поэтому в формулах удлинение нужно выражать в метрах. Кроме того, удлинение возводится в квадрат, и ошибка при переводе единиц особенно сильно изменит результат.
Всегда ли закон Гука применим к деформированному телу?
Нет. Закон Гука описывает поведение тела только в пределах упругой деформации, пока сила пропорциональна деформации. При слишком большом растяжении или сжатии эта пропорциональность нарушается.
Потенциальная энергия при упругой деформации тел
