"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Вблизи поверхности Земли на тело действует сила тяжести, поэтому его скорость меняется под действием направленного вниз ускорения g. Если сопротивлением воздуха пренебречь, это ускорение одинаково для тел любой массы. Движение можно изучать по отдельности: горизонтальное — как равномерное, вертикальное — как равноускоренное. Такой подход помогает находить траекторию, время полёта и дальность при свободном падении и бросках. Он пригодится и для понимания более сложного движения планет и спутников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гравитационное поле Земли — область, в которой на тело действует сила тяжести; вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения g считают постоянным. Это приближение позволяет применять знакомые уравнения равноускоренного движения. Обычно g ≈ 9,8 м/с², а в учебных расчётах часто берут 10 м/с².
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха пренебрегают. Такую модель используют, чтобы не учитывать влияние формы тела и воздушных потоков. Она хорошо описывает падение плотных предметов с небольшой высоты.
Баллистическое движение — движение тела, брошенного с начальной скоростью в гравитационном поле после прекращения контакта с бросающим телом. После броска тело уже не получает толчка от руки или устройства, но продолжает двигаться по инерции и одновременно ускоряется под действием тяжести. Так описывают, например, полёт мяча.
Траектория тела — линия, вдоль которой оно движется. При броске под углом к горизонту в однородном гравитационном поле траектория является параболой. Её форма помогает связать положение тела с временем и начальной скоростью.
На тело действует сила тяжести F = mg, направленная вертикально вниз. По второму закону Ньютона ускорение равно отношению силы к массе: a = F/m = mg/m = g. Масса сокращается, поэтому при отсутствии сопротивления воздуха тяжёлое и лёгкое тела ускоряются одинаково. Воздух может изменить наблюдаемое движение, поскольку сопротивление зависит от формы и скорости тела.
Если тело падает из состояния покоя, его начальная скорость равна нулю, а ускорение постоянно. При выборе оси вниз координата от точки старта меняется по закону y = gt²/2, а скорость — по закону v = gt. Если ось направить вверх, ускорение будет иметь знак минус; физический результат останется тем же, если знаки применять последовательно. Поэтому сначала задают начало отсчёта и направление оси, а уже затем подставляют величины.
При горизонтальном броске начальная скорость направлена только вдоль горизонтальной оси. Сила тяжести не имеет горизонтальной составляющей, значит, горизонтальная скорость не меняется: x = v₀t. По вертикали тело начинает падать из состояния покоя, и пройденная вниз высота равна h = gt²/2. Сначала из этого уравнения находят время падения, а затем используют его для расчёта горизонтальной дальности.
При броске под углом α начальную скорость раскладывают на компоненты: v₀ₓ = v₀ cos α и v₀ᵧ = v₀ sin α. Горизонтальное движение остаётся равномерным, потому что ускорение по этой оси равно нулю; вертикальное становится равноускоренным из-за g. Независимое рассмотрение двух осей даёт уравнения x = v₀ cos α · t и y = v₀ sin α · t − gt²/2, если вверх считать положительным направлением. Исключение времени из этих уравнений приводит к параболической траектории.
В наивысшей точке вертикальная составляющая скорости становится равной нулю: тело перестаёт подниматься и начинает опускаться. Но сила тяжести никуда не исчезает, поэтому ускорение и там направлено вниз. Время подъёма определяется начальной вертикальной скоростью: tпод = v₀ sin α/g. Если тело возвращается на исходный уровень, время спуска равно времени подъёма, а полное время полёта — 2tпод. Дальность за это время равна горизонтальной скорости, умноженной на полное время полёта.
| Случай движения | Начальные условия | Уравнения движения | Особенности |
|---|---|---|---|
| Свободное падение из состояния покоя | v₀ = 0; тело начинает падать с высоты h | h = gt²/2; v = gt | Ось направлена вниз; скорость перед ударом можно найти из v² = 2gh |
| Бросок вертикально вверх или вниз | Начальная скорость v₀ направлена вдоль вертикали | y = v₀t − gt²/2; v = v₀ − gt | Ось направлена вверх; при броске вниз v₀ имеет отрицательный знак |
| Бросок горизонтально | v₀ₓ = v₀; v₀ᵧ = 0; начальная высота h | x = v₀t; h = gt²/2 | По горизонтали движение равномерное, по вертикали — свободное падение |
| Бросок под углом к горизонту | v₀ₓ = v₀ cos α; v₀ᵧ = v₀ sin α | x = v₀ cos α · t; y = v₀ sin α · t − gt²/2 | Вертикальная ось направлена вверх; траектория параболическая |
Сначала определите, к какому случаю относится задача, и выберите оси координат. Затем запишите уравнения для каждой оси отдельно: одинаковое время t связывает горизонтальное и вертикальное движения. Проверьте, согласуются ли знаки, единицы измерения и условия задачи.
Задача 1. Камень падает с высоты 20 м без начальной скорости. Найти время падения и скорость перед ударом о землю; сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 2. Мяч брошен горизонтально со скоростью 8 м/с с обрыва высотой 45 м. Определить время полёта и дальность.
Задача 3. Тело брошено с земли под углом 30° к горизонту со скоростью 20 м/с. Найти время подъёма, максимальную высоту и дальность, если уровни начала и конца движения одинаковы.
Ошибка — считать ускорение в верхней точке броска под углом равным нулю. Так думают, потому что тело на мгновение перестаёт подниматься, но нулевой становится только вертикальная составляющая скорости. Сила тяжести продолжает действовать и ускоряет тело вниз. Проверьте себя: ускорение определяется силами, а не тем, равна ли скорость нулю.
Нельзя без проверки приравнивать время полёта к времени падения с некоторой высоты. При горизонтальном броске начальная вертикальная скорость действительно нулевая, но при броске под углом тело сначала поднимается. Причина ошибки — перенос формулы из одной ситуации в другую без проверки начальных условий. Запишите вертикальную скорость в момент броска и решите уравнение по вертикали.
Не следует смешивать горизонтальную и вертикальную составляющие движения. Сила тяжести действует вертикально: она изменяет вертикальную скорость, тогда как горизонтальная скорость в принятой модели постоянна. Путаница возникает, если применять одно уравнение сразу к обеим координатам. Проверка проста: запишите проекции ускорения — aₓ = 0 и aᵧ = −g при оси вверх.
Не для любых углов броска дальность одинакова. Равные дальности для дополнительных углов получаются только при одинаковой начальной скорости, равных уровнях старта и приземления и отсутствии сопротивления воздуха. Ошибку провоцирует запоминание правила без его условий. Перед сравнением углов проверьте высоты, скорости и то, можно ли пренебречь воздухом.
Для решения задач нужны второй закон Ньютона, понятие силы тяжести, ускорение свободного падения и уравнения равноускоренного движения. Разложение начальной скорости на компоненты основано на сложении векторов: это же умение применяется при изучении движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Модель постоянного g работает лишь вблизи поверхности Земли. При изучении спутников и небесных тел учитывают изменение гравитационного ускорения с расстоянием.
Почему тяжёлое и лёгкое тела падают с одинаковым ускорением?
Сила тяжести пропорциональна массе: F = mg. По второму закону Ньютона ускорение равно отношению силы к массе, поэтому a = F/m = g. Результат верен, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Почему в верхней точке траектории тело продолжает ускоряться вниз?
В верхней точке на мгновение равна нулю только вертикальная составляющая скорости. Сила тяжести продолжает действовать, поэтому ускорение всё время направлено вниз и равно g.
Как найти время полёта тела, брошенного горизонтально?
Нужно рассмотреть вертикальное движение: начальная вертикальная скорость равна нулю, а ускорение направлено вниз. Если высота обрыва h, то h = gt²/2, откуда t = √(2h/g).
Как разложить начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие?
Если скорость v₀ направлена под углом α к горизонту, горизонтальная составляющая равна v₀ₓ = v₀ cos α, а вертикальная — v₀ᵧ = v₀ sin α. Эти компоненты описывают движения вдоль взаимно перпендикулярных осей.
При каких условиях тела, брошенные под разными углами, имеют одинаковую дальность?
При одинаковых начальной скорости и высоте старта, если тела приземляются на уровень броска и сопротивления воздуха нет. Тогда дальность пропорциональна sin 2α, поэтому одинаковые дальности дают дополнительные углы, сумма которых равна 90°.
§ 35. Движение тел в гравитационном поле
