"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Колебательная система может двигаться не только сама по себе, но и под действием периодической внешней силы. Такие вынужденные колебания имеют частоту воздействия, а их амплитуда зависит от частоты силы и трения. Если частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы, наступает резонанс — амплитуда резко возрастает. Это явление используют, например, при настройке музыкальных инструментов, но оно может быть опасно для сооружений и механизмов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вынужденные колебания — колебания системы, которые возникают и поддерживаются действующей на неё периодической внешней силой. После переходного процесса их частота совпадает с частотой этой силы. Это определение помогает отличить вынужденное движение от свободного, частоту которого задают свойства самой системы. Например, маятник будет раскачиваться в ритме периодических толчков.
Амплитуда вынужденных колебаний — наибольшее отклонение системы от положения равновесия при установившихся колебаниях. Она зависит от частоты внешней силы относительно собственной частоты системы, а также от силы трения. Амплитуда показывает, насколько велик размах движения. Это позволяет оценить, будет ли колебание едва заметным или значительным.
Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении или близости частоты внешней силы к собственной частоте системы. Система в этом случае особенно эффективно получает энергию от воздействия. Резонанс объясняет, почему небольшой периодический толчок иногда вызывает большие колебания. Для этого частота толчков должна быть подходящей.
Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. При слабом трении она близка к собственной частоте системы, но при заметном затухании может немного от неё отличаться. Трение влияет и на высоту максимума: чем оно сильнее, тем ниже амплитуда. Это нужно учитывать, когда сравнивают частоты и оценивают резонанс.
Периодическая внешняя сила совершает работу над системой и передаёт ей энергию. Если сила действует регулярно, она может поддерживать движение, несмотря на то что часть энергии теряется. Без такого пополнения энергии трение и сопротивление среды постепенно остановили бы колебания. Поэтому вынужденное движение существует, пока продолжается внешнее воздействие.
Сначала движение может быть сложным: одновременно проявляются собственные колебания системы и действие внешней силы. Собственные колебания постепенно затухают, потому что энергия рассеивается. В установившемся режиме остаётся движение, связанное с периодической силой, поэтому его частота равна частоте воздействия. Амплитуда при этом зависит от того, насколько частота силы отличается от собственной частоты, и от величины трения.
При близких частотах внешнее воздействие каждый раз подталкивает систему в подходящий момент её движения. Из-за этого передача энергии становится особенно эффективной, и амплитуда возрастает. Если частоты заметно различаются, толчки не так хорошо согласованы с движением, поэтому усиление получается меньшим. Именно поэтому большое увеличение амплитуды связано не с любым воздействием, а с близостью частот.
Трение отводит часть энергии, которую система получает от внешней силы. Поэтому оно ограничивает рост амплитуды и не даёт ей бесконечно увеличиваться. При сильном затухании резонансный максимум становится ниже и шире: усиление распределяется по более широкому диапазону частот. Из-за затухания частота максимальной амплитуды может немного сместиться относительно собственной частоты.
Резонанс бывает полезен, когда требуется усилить колебания: например, резонатор музыкального инструмента усиливает звук струны. Но большие колебания способны повредить мост, здание или механизм, если частота повторяющихся толчков близка к собственной частоте конструкции. Поэтому при проектировании сооружений и машин учитывают возможные периодические воздействия. Так одно и то же явление может быть и полезным, и опасным.
| Свойство | Свободные колебания | Вынужденные колебания | Резонанс |
|---|---|---|---|
| Причина возникновения | Начальное отклонение или толчок | Периодическая внешняя сила | Вынужденное воздействие при близких частотах |
| Что задаёт частоту | Свойства системы | Частота внешней силы | Частота воздействия, близкая к собственной |
| От чего зависит амплитуда | Начальная энергия и потери | Частота воздействия и трение | Близость частот и величина затухания |
| Роль внешней силы | Не поддерживает движение | Передаёт энергию и поддерживает движение | Особенно эффективно передаёт энергию |
| Влияние трения | Постепенно уменьшает амплитуду | Ограничивает амплитуду | Снижает и расширяет максимум |
Сравнивайте сначала причину движения и то, что задаёт его частоту: это помогает не путать свободные и вынужденные колебания. Затем смотрите на амплитуду и роль трения. Последний столбец описывает не отдельный тип силы, а особый режим вынужденных колебаний.
Задача 1. К маятнику периодически прикладывают внешнюю силу. Частота её изменения намного меньше собственной частоты маятника. Определите, будут ли колебания резонансными.
Решение:
1. Для резонанса частота внешней силы должна быть близка к собственной частоте системы.
2. По условию частота воздействия намного меньше собственной частоты маятника.
3. Значит, совпадения или близости частот нет, и резонанс не возникает.
Ответ: колебания не будут резонансными.
Задача 2. Собственная частота системы равна 5 Гц, а внешняя сила действует с частотой 4,8 Гц. Объясните, почему амплитуда может заметно увеличиться.
Решение:
1. Сравним частоты: разность равна 5 − 4,8 = 0,2 Гц.
2. Частоты близки, поэтому система может эффективно получать энергию от внешнего воздействия.
3. Возникает резонансное усиление; его величина зависит от трения, которое ограничивает рост амплитуды.
Ответ: амплитуда может заметно увеличиться из-за близости частот, но трение не позволяет ей расти без ограничений.
Задача 3. На тело массой 0,50 кг действует сила F = 2,0 cos(10t) Н. Жёсткость пружины равна 75 Н/м, коэффициент сопротивления — 1,0 кг/с. Найдите амплитуду установившихся колебаний по формуле A = F₀ / √((k − mω²)² + (bω)²).
Решение:
1. Сопоставим закон силы с F = F₀ cos(ωt): F₀ = 2,0 Н, ω = 10 рад/с.
2. Подставим величины в СИ: m = 0,50 кг, k = 75 Н/м, b = 1,0 кг/с.
3. Вычислим: k − mω² = 75 − 0,50 · 10² = 25 Н/м; bω = 1,0 · 10 = 10 кг/с.
4. A = 2,0 / √(25² + 10²) = 2,0 / √725 ≈ 0,074 м.
Ответ: амплитуда установившихся колебаний примерно равна 0,074 м, или 7,4 см.
Ошибка — считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте системы. Так думают, потому что собственная частота уже знакома по свободным колебаниям, но в установившемся режиме ритм задаёт внешняя сила. Проверьте себя: найдите частоту воздействия в условии и именно с ней сравнивайте частоту установившихся колебаний.
Ошибка — называть резонансом любое увеличение амплитуды. Амплитуда может измениться и по другим причинам, а резонанс связан с близостью частоты воздействия к собственной частоте и максимумом усиления. Проверьте, указано ли в задаче такое соотношение частот. Если нет, одного факта увеличения амплитуды недостаточно для вывода о резонансе.
Ошибка — полагать, что при резонансе амплитуда растёт неограниченно. Такой вывод получают, если забывают о потерях энергии, но в реальной системе трение и сопротивление среды отводят энергию. Проверьте, учитываются ли эти потери. При их наличии амплитуда остаётся конечной.
Ошибка — не учитывать затухание при сравнении частот и оценке амплитуды. В простом рассуждении резонансную частоту приравнивают к собственной, хотя трение влияет на положение и высоту максимума. Проверьте, задан ли коэффициент сопротивления и можно ли им пренебречь. Сильное трение снижает и расширяет резонансный максимум.
Для изучения вынужденных колебаний нужны понятия периода, частоты и собственной частоты свободных колебаний. Также важно знать, что такое затухание: оно показывает, как потери энергии уменьшают колебания. Тема связана с работой и энергией, потому что внешняя сила совершает работу и передаёт энергию системе. Резонанс встречается при изучении механических и электрических колебаний, звука и колебаний сооружений.
Почему частота вынужденных колебаний определяется внешней силой?
Внешняя сила регулярно воздействует на систему и задаёт ритм её движения. После переходного процесса система колеблется с частотой этой силы, даже если её собственная частота отличается.
Всегда ли при резонансе частоты точно совпадают?
Не обязательно: в школьном приближении резонанс связывают с совпадением частот, но на практике заметное усиление возникает и при их близости. Трение может немного сместить частоту, при которой амплитуда максимальна.
Почему трение уменьшает амплитуду при резонансе?
Трение рассеивает часть энергии колебаний, поэтому системе достаётся меньше энергии для увеличения размаха. Чем сильнее затухание, тем ниже резонансный максимум.
Может ли амплитуда при резонансе стать бесконечной?
В реальной системе — нет: рост ограничивают трение, сопротивление среды и другие потери энергии. Поэтому амплитуда достигает конечного максимума.
В каких ситуациях резонанс полезен, а в каких опасен?
Резонанс полезен, когда нужно усилить колебания, например при настройке музыкальных инструментов. Он опасен, если большие колебания возникают в мостах, зданиях или деталях механизмов.
§ 32. Колебательная система под действием внешних сил. Резонанс
