§ 26. Воздействие резонанса и борьба с ним

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. Периодическая означает, что сила повторяется через равные промежутки времени. Частота этой силы задаёт частоту вынужденных колебаний, поэтому для анализа важно знать, как часто повторяется воздействие.

Собственная частота — частота свободных колебаний системы после того, как её вывели из равновесия и перестали подталкивать. Она зависит от свойств самой системы: например, от массы и упругости тела или длины маятника. Это характеристика системы, с которой сравнивают частоту внешнего воздействия.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы. Амплитуда показывает наибольшее отклонение от положения равновесия. Понятие резонанса помогает оценить, когда регулярные толчки или вибрации могут заметно усилить колебания.

Затухание — уменьшение амплитуды колебаний со временем из-за потерь энергии, например на преодоление трения. Даже при резонансе часть энергии уходит из системы, поэтому амплитуда не растёт бесконечно. Сила затухания помогает оценить высоту резонансного максимума.

Как это устроено

Периодическая внешняя сила снова и снова действует на систему и передаёт ей энергию. Поэтому возникают вынужденные колебания, которые продолжаются, пока действует сила. Их частота определяется частотой воздействия: система движется в ритме внешнего «подталкивания», а не выбирает частоту сама.

Если частота силы далека от собственной частоты, энергия поступает неравномерно относительно движения системы. В отдельные моменты воздействие может ускорять движение, а в другие — не так эффективно увеличивать колебания. Когда частоты сближаются, сила чаще действует в подходящей фазе цикла, и за одинаковое время система получает больше энергии.

Вблизи резонанса амплитуда растёт, пока поступление энергии не уравновесится её потерями. Трение и сопротивление среды отнимают энергию при каждом цикле, то есть вызывают затухание. Поэтому слабое затухание даёт высокий и острый резонансный максимум, а сильное — более низкий и широкий: амплитуда меньше меняется при небольшом изменении частоты.

Резонанс бывает полезным, если усиление колебаний нужно. В музыкальном инструменте резонанс помогает усилить звук определённых частот; система откликается на подходящий ритм и сильнее колеблется. Но если амплитуда сооружения или детали машины становится чрезмерной, возникают опасные нагрузки и возможны повреждения.

Для борьбы с нежелательным резонансом меняют условия, при которых частоты оказываются близкими. Можно увеличить затухание, чтобы отводить больше энергии, изменить собственную частоту системы или устранить внешнее воздействие с подходящей частотой. Выбор способа зависит от того, что именно проще и безопаснее изменить в конкретной системе.

Резонанс: условия, последствия и способы управления

Сначала сравните частоту внешней силы с собственной частотой системы, затем оцените, насколько велико затухание. Таблица помогает отличить опасный случай от ситуации, когда резонанс используют целенаправленно. Если амплитуда нежелательна, ищите возможность увеличить потери энергии или изменить частоты.

Разбор задач

Маятник и ритм толчков

Маятник раскачивают короткими толчками одинаковой силы, но в разных ритмах. Нужно объяснить, почему при одном ритме амплитуда увеличивается быстрее. Сравним частоту толчков с собственной частотой маятника.

1. Маятник после отклонения совершает свободные колебания с собственной частотой. Она зависит от его свойств, в частности от длины нити. Поэтому у маятника есть свой естественный ритм.

2. Если толкать маятник в такт этому ритму, каждый толчок приходится на подходящий момент движения. Внешняя сила передаёт энергию согласованно, и колебания усиливаются от толчка к толчку. Это близко к условию резонанса.

3. При неподходящем ритме толчки могут действовать менее эффективно. Усилие остаётся тем же, но энергии за цикл передаётся меньше. Поэтому амплитуда растёт медленнее.

Ответ: амплитуда быстрее растёт, когда частота толчков близка к собственной частоте маятника. Тогда толчки эффективнее передают ему энергию.

Вибратор и конструкция

Вибратор действует на конструкцию с частотой, близкой к её собственной. Требуется определить, что будет с амплитудой и как её уменьшить. Учитываем не только совпадение частот, но и потери энергии.

1. Сравним две частоты: внешнего воздействия и собственной частоты конструкции. Их близость означает, что возникает условие резонанса. Внешняя сила может эффективно передавать энергию колебаниям.

2. Поэтому амплитуда способна резко увеличиться, особенно если затухание мало. Большие колебания создают дополнительную нагрузку на конструкцию. Это может привести к повреждениям.

3. Можно увеличить затухание, например применить демпфирующие элементы, которые рассеивают энергию. Другой вариант — изменить собственную частоту конструкции или частоту работы вибратора. Нужно вывести систему из области близких частот.

Ответ: амплитуда может заметно возрасти из-за резонанса. Её уменьшают увеличением затухания либо изменением собственной частоты конструкции или частоты воздействия.

Сравнение частот

Собственная частота системы равна 8 Гц, а внешняя сила действует с частотами 3 Гц, 7,8 Гц и 15 Гц. Нужно определить, при каком воздействии ожидать наибольшую амплитуду. Сравним каждую частоту с 8 Гц.

1. Частота 3 Гц отличается от собственной на 5 Гц, а 15 Гц — на 7 Гц. В обоих случаях частоты удалены от 8 Гц. Поэтому резонансного усиления, сравнимого с откликом вблизи собственной частоты, ожидать не следует.

2. Частота 7,8 Гц отличается от 8 Гц всего на 0,2 Гц. Она ближе всех к собственной частоте, значит, для неё условия резонанса выражены сильнее. При таком воздействии следует ожидать наибольшую амплитуду.

3. Чтобы уменьшить амплитуду, можно увеличить затухание: система будет терять больше энергии за каждый цикл. Также можно изменить собственную частоту или частоту внешней силы, чтобы они стали дальше друг от друга. Конкретный способ выбирают с учётом устройства системы.

Ответ: наибольшая амплитуда ожидается при частоте 7,8 Гц. Её можно снизить, увеличив затухание или изменив одну из частот.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что резонанс возможен только при точном равенстве частот. Часто так думают, воспринимая резонанс как строгое совпадение двух чисел, хотя затухание и другие свойства системы влияют на отклик. Проверка: уточните, близки ли частоты и насколько выражено затухание, а не ищите только знак равенства.

• Ошибка — считать, что при резонансе амплитуда становится бесконечной. В реальных системах энергию отбирают трение, сопротивление среды и другие потери. Проверка: вспомните, что при установившихся колебаниях поступление энергии уравновешивается её потерями.

• Ошибка — путать частоту вынужденных колебаний с собственной частотой системы. Это происходит, если не различать источник воздействия и свойства самой системы. Проверка: спросите себя, что задаёт внешний ритм, а что характеризует систему после прекращения воздействия.

• Ошибка — считать резонанс всегда вредным. Обычно внимание привлекают аварийные случаи, но усиление колебаний бывает и полезным. Проверка: выясните, какую цель преследуют и насколько велика амплитуда; например, усиление звука может быть желательным.

Связь с другими темами

Для изучения резонанса нужны знания о свободных и вынужденных механических колебаниях, а также о периоде, частоте и амплитуде. Понимание превращения и передачи энергии помогает объяснить, почему система откликается на внешнюю силу, а знания о потерях энергии — как возникает затухание. Эти идеи пригодятся при изучении колебательных контуров и звуковых явлений. Они также применяются при анализе вибраций машин и устойчивости сооружений.

Что запомнить

• Вынужденные колебания происходят под действием периодической внешней силы.
• Частота вынужденных колебаний определяется частотой внешнего воздействия.
• Резонанс возникает, когда частота воздействия близка к собственной частоте системы.
• При резонансе амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает.
• Чем сильнее затухание, тем меньше резонансная амплитуда.
• Нежелательный резонанс ослабляют затуханием или изменением собственной частоты системы.