§ 27. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — цепь из конденсатора и катушки, в которой могут возникать электромагнитные колебания. Конденсатор характеризуют ёмкостью C, а катушку — индуктивностью L. Контур нужен, чтобы преобразовывать и накапливать энергию электрического и магнитного полей.

Свободные электромагнитные колебания — колебания заряда, тока и энергии в контуре после начального возбуждения без внешнего периодического источника. Начальным возбуждением может быть заряд конденсатора или сообщение тока катушке. Это понятие позволяет описать собственное поведение контура.

Вынужденные электромагнитные колебания — колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы, или ЭДС. Источник периодически передаёт энергию контуру и компенсирует её потери. Так работают, например, цепи, подключённые к генератору переменного напряжения.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего источника к собственной частоте контура. Амплитуда показывает наибольшее отклонение колеблющейся величины от равновесного значения. Резонанс позволяет выделять нужную частоту, но при малом сопротивлении может приводить к очень большим токам и напряжениям.

Как это устроено

Зарядим конденсатор и подключим его к катушке: между обкладками есть электрическое поле, а значит, запасена электрическая энергия. При замыкании цепи конденсатор разряжается и по катушке начинает идти ток. Ток создаёт магнитное поле, энергия которого растёт, пока электрическое поле конденсатора ослабевает. Когда конденсатор разрядится, ток не исчезает мгновенно: магнитное поле катушки поддерживает его и заряжает конденсатор с противоположной полярностью.

После перезарядки конденсатора ток начинает уменьшаться, а магнитное поле катушки ослабевает. Энергия снова переходит в электрическое поле, и процесс повторяется в обратном направлении. В идеальном контуре энергия лишь переходит между двумя полями, не теряясь, поэтому колебания продолжаются с постоянной амплитудой. Аналогичный обмен происходит у пружинного маятника между потенциальной и кинетической энергией.

Собственная частота идеального контура зависит от того, как быстро меняются ток и напряжение, а это задают свойства катушки и конденсатора. Индуктивность L характеризует способность катушки противодействовать изменению тока, а ёмкость C — способность конденсатора накапливать заряд. Их сочетание задаёт собственную циклическую частоту ω₀ = 1/√(LC). Поэтому период свободных колебаний выражается формулой Томсона: T = 2π√(LC), а частота ν = 1/T.

Если конденсатор сначала зарядить, а затем предоставить контуру самому себе, возникнут свободные колебания: начальная энергия запасена в электрическом поле. Их можно начать и иначе — сообщить катушке ток, создав магнитное поле. В реальной цепи есть сопротивление, поэтому ток нагревает проводники и часть энергии уходит в окружающую среду. Запас энергии уменьшается от периода к периоду, а амплитуда свободных колебаний затухает.

Во внешней цепи периодическая ЭДС меняется по закону источника и заставляет заряд и ток совершать вынужденные колебания. После переходного процесса устанавливается режим, в котором частота колебаний равна частоте генератора: источник каждый период повторяет своё воздействие. Амплитуда при этом зависит от того, насколько частота источника близка к собственной частоте контура, и от сопротивления. При резонансе источник особенно эффективно передаёт энергию: его воздействие согласовано с колебаниями контура, поэтому амплитуда достигает максимума; сопротивление ограничивает этот рост.

Сравнение свободных и вынужденных электромагнитных колебаний

Сначала определите, есть ли источник, который периодически действует на цепь: это отделяет вынужденные колебания от свободных. Затем сравните частоту колебаний с собственной частотой контура и оцените, влияет ли сопротивление на амплитуду. Таблица помогает не смешивать причину возникновения колебаний с их частотой и характером затухания.

Разбор задач

Период и частота контура

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,25 Гн. Найдём период и частоту свободных электромагнитных колебаний. Переведём ёмкость в единицы СИ: C = 4·10⁻⁶ Ф. Для идеального контура используем формулу Томсона T = 2π√(LC).

1. Подставим параметры: LC = 0,25·4·10⁻⁶ = 10⁻⁶. Тогда √(LC) = 10⁻³ с.

2. Найдём период: T = 2π·10⁻³ с ≈ 6,28·10⁻³ с, то есть примерно 6,3 мс.

3. Частота — величина, обратная периоду: ν = 1/T ≈ 1/(6,28·10⁻³) Гц ≈ 159 Гц.

Ответ: T ≈ 6,3 мс; ν ≈ 159 Гц. Размерность периода получилась в секундах, а частоты — в герцах, что служит полезной проверкой.

Ток по известному закону заряда

Заряд конденсатора задан выражением q = qₘ cos(ωt), где qₘ — амплитуда заряда, а ω — циклическая частота. Нужно записать закон изменения тока и определить его в заданный момент времени. Числовые значения qₘ, ω и момента в условии не указаны, поэтому ответ для тока в момент времени можно дать в общем виде.

1. Сила тока равна скорости изменения заряда: I = dq/dt. Дифференцируем q по времени и получаем I = −ωqₘ sin(ωt).

2. Максимальное значение силы тока по модулю равно Iₘ = ωqₘ. Минус перед синусом показывает направление тока относительно выбранного положительного направления заряда.

3. Чтобы найти ток в заданный момент t₁, подставляем его в выражение: I(t₁) = −ωqₘ sin(ωt₁). При необходимости сначала переводим время в секунды и проверяем, что ω выражена в рад/с.

Ответ: I = −ωqₘ sin(ωt), а в момент t₁ ток равен −ωqₘ sin(ωt₁). Заряд и ток сдвинуты по фазе на π/2: максимальному заряду соответствует нулевой ток, а при прохождении заряда через ноль модуль тока максимален.

Частота резонанса

Собственная частота контура равна 1 МГц, а генератор изменяет частоту от 0,5 до 1,5 МГц. Требуется определить частоту резонанса и объяснить, как на максимальную амплитуду действует сопротивление. Резонанс ищут сравнением частоты генератора с собственной частотой, а не по равенству амплитуд тока и напряжения.

1. Частота 1 МГц входит в диапазон генератора от 0,5 до 1,5 МГц. Значит, генератор можно настроить на частоту, совпадающую с собственной частотой контура.

2. При совпадении частот устанавливаются условия резонанса. Следовательно, резонанс возникнет при частоте источника 1 МГц.

3. Сопротивление цепи рассеивает энергию и препятствует росту амплитуды. При меньшем сопротивлении резонансная амплитуда больше, а максимум выражен резче.

Ответ: резонанс возникает при частоте генератора 1 МГц. Чем меньше сопротивление, тем выше максимальная амплитуда вынужденных колебаний.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать свободные и вынужденные колебания одним и тем же явлением. Их путают, потому что и там и там меняются заряд и ток. Проверьте, чем поддерживается движение: свободные колебания начинаются после начального возбуждения, а вынужденные требуют внешнего периодического источника.

Вторая ошибка — утверждать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте контура. Собственную частоту легко принять за главную, поскольку она определяется параметрами L и C. Но в установившемся режиме частоту задаёт генератор; совпадение с собственной частотой лишь создаёт резонанс и меняет амплитуду.

Третья ошибка — описывать свободные колебания реального контура как незатухающие. Так рассуждают, если мысленно рассматривают идеальную цепь и забывают о сопротивлении. Проверьте, есть ли в условии потери: у реальных проводников сопротивление превращает часть энергии в тепло, поэтому амплитуда постепенно уменьшается.

Четвёртая ошибка — называть резонансом совпадение амплитуд напряжения и тока. Такое толкование возникает из-за того, что термин связывают с усилением, не уточняя, какая величина сравнивается. Проверка проста: резонанс определяют по близости частоты внешнего источника к собственной частоте контура, а сопротивление влияет на величину амплитуды.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия ёмкости и индуктивности, периодических величин и фазового сдвига. При рассмотрении цепей переменного тока пригодится закон Ома: он связывает напряжение, ток и сопротивление, но в колебательном контуре существенны также свойства катушки и конденсатора. Сравнение с пружинным маятником помогает увидеть общий принцип обмена энергией между двумя её видами.

Идеи о вынужденных колебаниях и резонансе применяются при настройке радиоприёмников: контур выделяет сигнал нужной частоты. Они также помогают понять работу радиопередачи и электрических фильтров, которые пропускают одни частоты и ослабляют другие. Поэтому свойства колебательного контура важны для понимания последующих тем об электрических цепях и связи.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки.
• В свободных колебаниях энергия периодически переходит из электрического поля в магнитное и обратно.
• Период свободных колебаний определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• В реальном контуре свободные колебания затухают из-за сопротивления.
• Частоту установившихся вынужденных колебаний задаёт внешний источник.
• Резонанс возникает, когда частота внешнего источника близка к собственной частоте контура.
• Чем меньше сопротивление контура, тем выше амплитуда колебаний при резонансе.