§ 28. Колебательный контур. Превращение энергии при электромагнитных колебаниях

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь с конденсатором и катушкой индуктивности. Конденсатор способен накапливать энергию электрического поля, а катушка — магнитного поля. Без первого не было бы запаса электрической энергии, а без второго ток не мог бы поддерживаться после разряда. Поэтому вместе эти элементы обеспечивают взаимное превращение энергий.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока в контуре после начального возбуждения, без внешнего периодического воздействия. Например, достаточно предварительно зарядить конденсатор и соединить его с катушкой. Контур сам проходит последовательность состояний, обмениваясь энергией между полями. Такие колебания называют свободными, потому что их дальнейшее течение не задаёт внешний источник.

Собственная частота и период характеризуют, насколько быстро колеблется идеальный контур. Они определяются его параметрами: индуктивностью L катушки и ёмкостью C конденсатора. Период T — время одного полного повторения состояния, а частота ν — число таких повторений за секунду. Эти величины позволяют предсказать темп колебаний, не зная начального заряда.

Энергия электромагнитных колебаний — сумма энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Электрическую энергию обозначают Wэ, магнитную — Wм, а полную — W. В идеальном контуре W = Wэ + Wм остаётся постоянной, хотя каждая составляющая меняется. Поэтому для описания колебаний нужно следить не только за зарядом и током, но и за тем, где сосредоточена энергия.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, подключив его к источнику напряжения, а затем источник отключают и соединяют обкладки с катушкой в замкнутую цепь. Заряженный конденсатор создаёт электрическое поле и начинает разряжаться через катушку. Появившийся ток нарастает, а вокруг витков возникает магнитное поле. Так запасённая электрическая энергия постепенно передаётся магнитному полю.

Когда заряд конденсатора уменьшается, ток не прекращается мгновенно, потому что катушка препятствует быстрому изменению тока. Это явление связано с самоиндукцией: изменяющееся магнитное поле создаёт ЭДС, поддерживающую ток в прежнем направлении. Пока ток нарастает, магнитное поле катушки становится сильнее и принимает всё большую долю энергии. Поэтому в момент полного разряда конденсатора ток как раз достигает максимума.

После разряда конденсатора магнитное поле катушки продолжает поддерживать ток. Заряды проходят через цепь и накапливаются на обкладках, но теперь полярность конденсатора противоположна начальной. Ток постепенно ослабевает, потому что магнитное поле убывает и отдаёт накопленную энергию электрическому полю. Когда заряд достигает максимума с обратным знаком, ток на мгновение становится равным нулю.

Далее процесс повторяется в обратном направлении: конденсатор снова разряжается, ток меняет направление, а катушка накапливает магнитную энергию. При максимальном по модулю заряде скорость его изменения равна нулю, поэтому сила тока равна нулю. Когда заряд проходит через ноль, он изменяется быстрее всего и модуль тока максимален. Значит, максимумы заряда и тока приходятся на разные моменты колебания.

В идеальном контуре энергия переходит из электрического поля в магнитное и обратно без потерь, поэтому Wэ + Wм сохраняется. В реальной цепи есть сопротивление: ток нагревает проводники, и часть энергии уходит в окружающую среду. Из-за этого амплитуды заряда и тока постепенно уменьшаются — колебания затухают. Чем больше потери, тем быстрее убывает энергия колебаний.

Изменение заряда, тока и энергии в идеальном колебательном контуре

Читайте строки как последовательные моменты одного колебания: после последней указанной точки процесс продолжается в обратном направлении. Энергии в столбцах меняются противоположно: когда одна максимальна, другая равна нулю. В промежуточные моменты обе энергии ненулевые, но их сумма в идеальном контуре постоянна.

Разбор задач

Период и частота собственных колебаний

Дано: C = 4 мкФ, L = 0,25 Гн. Требуется найти период T и частоту ν идеального контура. Применим формулы Томсона: T = 2π√(LC), ν = 1/T. Перед вычислением переведём ёмкость в фарады, чтобы произведение LC имело согласованные единицы СИ.

1. Переводим ёмкость: C = 4 · 10⁻⁶ Ф.
2. Вычисляем LC = 0,25 · 4 · 10⁻⁶ = 10⁻⁶, поэтому √(LC) = 10⁻³ с.
3. Находим T = 2π · 10⁻³ ≈ 0,00628 с.
4. Вычисляем ν = 1/T ≈ 159 Гц.

Ответ: период примерно 6,28 мс, частота примерно 159 Гц. Частота показывает число полных колебаний за секунду, поэтому её значение обратно пропорционально периоду.

Энергия поля и максимальная сила тока

Дано: Qmax = 6 мкКл, C = 3 мкФ, L = 0,12 Гн. Максимальная энергия конденсатора равна W = Qmax²/(2C). В момент максимального тока вся эта энергия находится в магнитном поле катушки, поэтому W = LImax²/2. Найдём сначала общую энергию, а затем из равенства энергий определим ток.

1. Переводим величины: Qmax = 6 · 10⁻⁶ Кл, C = 3 · 10⁻⁶ Ф.
2. W = (6 · 10⁻⁶)²/(2 · 3 · 10⁻⁶) = 6 · 10⁻⁶ Дж.
3. Из W = LImax²/2 получаем Imax = √(2W/L).
4. Imax = √(12 · 10⁻⁶/0,12) = √(10⁻⁴) = 0,01 А.

Ответ: максимальная энергия электрического поля равна 6 мкДж, максимальная сила тока — 0,01 А, или 10 мА.

Заряд равен половине максимального

Пусть известны C, L и максимальный заряд Qmax; нужно найти величины, когда заряд q = Qmax/2. Знак q может быть положительным или отрицательным: он зависит от того, какая обкладка заряжена и в какую сторону идёт колебание. Энергию электрического поля найдём непосредственно по заряду, а магнитную — как остаток полной энергии. Из магнитной энергии определим модуль тока.

1. Полная энергия W = Qmax²/(2C), а энергия конденсатора Wэ = q²/(2C) = Qmax²/(8C) = W/4.
2. По сохранению энергии Wм = W − Wэ = 3W/4. Следовательно, Wм = 3Qmax²/(8C).
3. Из LI²/2 = Wм получаем |I| = √(2Wм/L) = (√3/2)Imax, где Imax = Qmax/√(LC).
4. Заряд равен q = ±Qmax/2. Знак тока нельзя установить только по величине заряда: он зависит от направления изменения q.

Ответ: q = ±Qmax/2, Wэ = W/4, Wм = 3W/4, |I| = (√3/2)Imax. Для численного ответа нужны значения C, L и Qmax.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что ток исчезает сразу после полного разряда конденсатора. Так думают, потому что заряд стал нулевым, но это не означает, что остановились движущиеся заряды. Самоиндукция поддерживает ток, а его энергия в этот момент заключена в магнитном поле. Проверь себя по таблице: при нулевом заряде ток максимален.

Ошибка: одновременно приписывать максимум заряду и силе тока. Причина — смешение величины заряда и скорости его изменения: ток связан именно со скоростью. В точке максимального заряда он на мгновение не меняется, поэтому ток равен нулю. Проверка: максимальный ток приходится на прохождение заряда через ноль.

Ошибка: считать, что энергия всегда находится только в конденсаторе или только в катушке. Такое представление подходит лишь для отдельных мгновений, когда одна из энергий максимальна, а другая равна нулю. Между ними энергия распределена между обоими полями. Проверь расчёт: в идеальном контуре сумма Wэ + Wм должна оставаться неизменной.

Ошибка: подставлять микрофарады и микрокулоны как обычные числа без перевода в СИ. При этом результат отличается на несколько порядков, хотя действия с формулой выглядят верными. Перед вычислениями запиши C в фарадах, L в генри, q в кулонах. Самопроверка — размерность и порядок величины результата должны быть физически правдоподобными.

Связь с другими темами

Для изучения контура нужны закон сохранения энергии, понятия ёмкости конденсатора и индуктивности катушки. Также пригодятся формулы энергий электрического и магнитного полей: Wэ = q²/(2C) и Wм = LI²/2. Они позволяют проследить, как энергия перемещается между элементами цепи. Позже эта модель помогает объяснить переменный ток и резонанс, а также понять работу генераторов и радиоприёмников.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Свободные колебания возникают после начального возбуждения контура.
• Период собственных колебаний идеального контура: T = 2π√(LC).
• Частота собственных колебаний: ν = 1/(2π√(LC)).
• При максимальном заряде конденсатора сила тока равна нулю.
• При нулевом заряде конденсатора сила тока максимальна.
• В идеальном контуре полная энергия сохраняется и переходит между электрическим и магнитным полями.