§ 45. Уравнение гармонической бегущей волны

Определения и обозначения

Гармоническая бегущая волна — распространение колебаний, при котором частицы среды совершают гармонические колебания, а возмущение перемещается в пространстве. Частицы при этом не уносятся вместе с волной на большие расстояния: они колеблются около своих положений равновесия. Это понятие помогает отличать перенос энергии и возмущения от переноса вещества.

Фаза волны — величина, задающая состояние колебания в данной точке пространства и в данный момент времени. В уравнении она включает временную и пространственную части, например ωt − kx + φ₀. Сравнивая фазы в разных точках или в разные моменты, можно понять, одинаково ли там колеблется среда.

Волновое число — величина, показывающая, как быстро меняется фаза при изменении координаты; обозначается k и равно 2π/λ. Здесь λ — длина волны, то есть расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Волновое число нужно, чтобы записать пространственное изменение колебаний в уравнении.

Скорость распространения волны — скорость перемещения одинаковой фазы волны; обозначается v и связана с длиной волны и периодом соотношением v = λ/T. За один период колебания волна проходит расстояние в одну длину волны. Эта величина описывает движение возмущения, а не скорость движения частиц среды около равновесия.

Как это устроено

Источник начинает колебаться и передаёт возмущение ближайшим частицам среды, те — следующим. Поэтому частица на расстоянии x от источника начинает колебаться позже, чем сам источник. Чем дальше точка, тем больше время ожидания: при скорости распространения v оно равно x/v. Именно эта задержка объясняет, почему колебания в разных точках не совпадают по фазе.

Пусть источник колеблется по закону y = A cos(ωt + φ₀), где A — амплитуда, а φ₀ — фаза в начальный момент. В точке x колебание повторяет движение источника, но происходит с задержкой x/v, поэтому в закон нужно подставить время t − x/v. Получаем y(x,t) = A cos(ω(t − x/v) + φ₀), или y(x,t) = A cos(ωt − (ω/v)x + φ₀). Так координата входит в уравнение именно из-за запаздывания сигнала при распространении.

Период T — время одного полного колебания, а частота ν = 1/T показывает число колебаний за секунду. За период фаза изменяется на 2π, поэтому скорость изменения фазы во времени равна ω = 2π/T = 2πν. Коэффициент при времени в уравнении и называют циклической частотой. Он показывает, насколько быстро меняется состояние колебания в одной выбранной точке.

В соседних точках, отстоящих на одну длину волны λ, колебания имеют одинаковую фазу. Значит, при изменении координаты на λ фаза проходит полный цикл, то есть меняется на 2π. Поэтому изменение фазы на единицу длины равно k = 2π/λ. Волновое число играет для координаты такую же роль, какую ω играет для времени.

Подставив k = ω/v в полученную зависимость, записываем уравнение гармонической бегущей волны: y(x,t) = A cos(ωt − kx + φ₀). Начальная фаза φ₀ задаёт состояние источника при выбранном начале отсчёта времени; если источник в этот момент проходит положение равновесия, она может быть ненулевой. Для волны, движущейся в сторону уменьшения x, пространственный член имеет знак плюс: ωt + kx + φ₀. Знак можно проверить, сохраняя фазу постоянной: с течением времени точка одинаковой фазы движется в направлении распространения волны.

Величины и параметры уравнения гармонической бегущей волны

Сначала по условию определите, какие параметры известны, и выберите связь между ними из таблицы. Если в уравнении уже заданы коэффициенты при t и x, сопоставьте их с ω и k. Проверяйте единицы: например, произведения ωt и kx должны быть безразмерными.

Разбор задач

1. Составление уравнения волны

Источник колеблется с амплитудой 2 см и периодом 0,4 с, скорость волны равна 5 м/с, начальная фаза нулевая. Нужно получить уравнение, поэтому сначала найдём параметры, отвечающие за изменение фазы по координате и времени. Переведём амплитуду в метры: A = 0,02 м.

1. Длина волны λ = vT = 5 · 0,4 = 2 м: за период возмущение проходит одну длину волны.
2. Циклическая частота ω = 2π/T = 2π/0,4 = 5π рад/с.
3. Волновое число k = 2π/λ = 2π/2 = π м⁻¹.
4. Подставляем параметры в y(x,t) = A cos(ωt − kx + φ₀), принимая φ₀ = 0.

Получаем уравнение y(x,t) = 0,02 cos(5πt − πx), где x измеряется в метрах, а t — в секундах. Минус перед пространственным членом задаёт распространение в сторону увеличения координаты. Если оставить амплитуду в сантиметрах, остальные единицы тоже пришлось бы согласованно перевести.

2. Чтение параметров по уравнению

Дано y = 0,03 cos(10πt − 2πx). Сравним его с общим видом y = A cos(ωt − kx + φ₀): тогда амплитуда равна 0,03 м, ω = 10π рад/с, а k = 2π м⁻¹. Найдём остальные величины через определения периода, длины волны и скорости.

1. Период T = 2π/ω = 2π/(10π) = 0,2 с.
2. Длина волны λ = 2π/k = 2π/(2π) = 1 м.
3. Скорость v = ω/k = 10π/(2π) = 5 м/с; такую же величину даёт λ/T = 1/0,2.

Ответ: A = 0,03 м, T = 0,2 с, λ = 1 м, v = 5 м/с. Полезно сверить результат двумя формулами для скорости: совпадение подтверждает, что коэффициенты при t и x прочитаны правильно. Амплитуда задаёт максимальное смещение и не влияет на скорость распространения.

3. Направление и смещение точки

Волна описана уравнением y = 0,04 sin(20πt + 4πx + π/3). Нужно определить направление распространения и смещение при x = 0,25 м, t = 0,05 с. Положительный знак между временным и пространственным членами соответствует фазе ωt + kx + φ₀. Это форма волны, движущейся вдоль отрицательного направления оси x.

1. Подставляем координату и время в фазу: 20π · 0,05 + 4π · 0,25 + π/3.
2. Первое слагаемое равно π, второе тоже равно π, поэтому фаза равна 7π/3.
3. Так как sin(7π/3) = sin(π/3) = √3/2, смещение y = 0,04 · √3/2 ≈ 0,0346 м.

Ответ: волна распространяется в сторону уменьшения x, смещение точки составляет примерно 0,0346 м, или 3,46 см. При подстановке использованы метры и секунды, соответствующие единицам коэффициентов в фазе. Периодичность синуса позволяет заменить 7π/3 на эквивалентный угол π/3.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что знак перед пространственным членом не влияет на направление волны. Его допускают, когда воспринимают уравнение только как формулу для вычисления смещения и не отслеживают движение фазы. Проверьте себя, приравняв фазу к постоянной: для ωt − kx = const координата растёт с течением времени, а для ωt + kx = const — уменьшается.

Вторая ошибка — путать волновое число k с частотой ω. Обе величины связаны с изменением фазы, но k описывает изменение с координатой и имеет единицы м⁻¹, а ω — изменение со временем и измеряется в с⁻¹. Чтобы не перепутать, проверьте, при какой переменной стоит коэффициент: при x — k, при t — ω.

Третья ошибка — подставлять длину волны вместо волнового числа в фазу. В уравнении коэффициент при координате равен k = 2π/λ, а не λ: иначе произведение коэффициента на координату не будет безразмерным. Перед вычислением отдельно выпишите найденное значение k и проверьте, что единицы м⁻¹ сокращаются с метрами координаты.

Четвёртая ошибка — использовать координату или длину волны в сантиметрах, когда скорость и другие величины заданы в СИ. Такой сбой появляется из-за того, что число выглядит привычно и его единицу забывают учитывать; результат фазы может отличаться в сто раз. Переведите сантиметры в метры до подстановки и проверьте, что все слагаемые фазы безразмерны.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением волны нужны знания о гармонических колебаниях: амплитуде, периоде, частоте и циклической частоте. Также необходимо понимать, что такое длина волны и скорость её распространения, и пользоваться связью v = λ/T. Уравнение бегущей волны помогает описывать интерференцию — сложение волн, а также стоячие волны, возникающие при наложении встречных волн. Те же способы описания применяются к звуковым и электромагнитным волнам.

Что запомнить

• Бегущая волна переносит возмущение, а частицы среды колеблются около положений равновесия.
• Уравнение волны задаёт смещение как функцию координаты и времени.
• Волновое число k = 2π/λ, а циклическая частота ω = 2π/T.
• Скорость волны связана с параметрами уравнения соотношением v = ω/k = λ/T.
• Знак пространственного члена в фазе указывает направление распространения.
• Аргумент синуса или косинуса — фаза волны; его выражение должно быть безразмерным.