§ 101. Энергия заряженного конденсатора. Применение

Определения и обозначения

Энергия заряженного конденсатора — энергия, которую конденсатор запасает при разделении зарядов на обкладках. Она показывает, какую работу может совершить конденсатор при последующем разряде. Обозначают энергию буквой W и измеряют в джоулях.

Энергия электрического поля — энергия, связанная с электрическим полем между обкладками. Поле возникает из-за противоположных зарядов и удерживает их разделёнными. Это понятие объясняет, где именно хранится энергия конденсатора.

Работа зарядки конденсатора — работа электрических сил и внешнего источника при переносе зарядов на обкладки. Внешний источник разделяет заряды, а электрическое поле препятствует дальнейшему переносу одноимённых зарядов. Эта работа и превращается в запасённую энергию.

Разряд конденсатора — уменьшение его заряда при соединении обкладок через проводник или электрическое устройство. Заряды начинают двигаться, а электрическое поле ослабевает. В процессе разряда энергия конденсатора передаётся цепи.

Как это устроено

При зарядке на первую обкладку поступает заряд, а на второй возникает равный по модулю заряд противоположного знака. Чем больше уже накоплено заряда, тем сильнее электрическое поле и тем выше напряжение между обкладками. Поэтому следующий малый заряд приходится переносить при большем напряжении, чем предыдущий.

Чтобы найти работу зарядки, нужно учитывать напряжение в каждый момент переноса, а не просто умножать конечные q и U. Напряжение изменяется от нуля до конечного значения U, поэтому его среднее значение при зарядке равно U/2. Отсюда работа и энергия равны W = qU/2.

Для конденсатора выполняется связь q = CU. Подставляя её в выражение W = qU/2, получаем W = CU²/2. В этой формуле C — ёмкость конденсатора, а U — напряжение, до которого он заряжен; множитель 1/2 учитывает постепенное возрастание напряжения.

Эту же энергию можно записать в трёх равносильных видах: W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C). Формулу CU²/2 удобно применять, когда известны ёмкость и напряжение. Вариант qU/2 подходит для известных заряда и напряжения, а q²/(2C) — для известных заряда и ёмкости.

Зависимость энергии определяется тем, какая величина остаётся постоянной. При постоянной ёмкости увеличение напряжения в два раза увеличивает энергию в четыре раза, потому что W пропорциональна U². При постоянном заряде увеличение ёмкости уменьшает энергию, так как W пропорциональна 1/C.

Конденсатор используют как накопитель энергии: источник заряжает его постепенно, а затем накопленная энергия быстро отдаётся цепи. Во время разряда ток может быть большим, поэтому энергия иногда выделяется за очень короткое время и создаёт большую мощность. Это используют, например, во вспышках и импульсных устройствах.

Энергия заряженного конденсатора

Сначала определите, какие величины даны в условии и какая из них сохраняется. Затем выберите строку таблицы с подходящей формулой и переведите все данные в единицы СИ. Для сравнения начальной и конечной энергии часто достаточно использовать зависимости, не подставляя конкретные числа.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 20 мкФ заряжен до напряжения 100 В. Найдём запасённую энергию. Даны C и U, поэтому подходит формула W = CU²/2.

1. Переведём ёмкость в фарады: 20 мкФ = 20 · 10⁻⁶ Ф.
2. Подставим значения: W = (20 · 10⁻⁶ · 100²)/2.
3. Вычислим: W = 0,1 Дж.

Ответ: запасённая энергия равна 0,1 Дж.

Задача 2

Конденсатор имеет заряд 4 мкКл и напряжение 200 В. Здесь непосредственно известны q и U, поэтому сначала применим W = qU/2. Затем проверим результат через W = CU²/2, предварительно найдя ёмкость из q = CU.

1. Переведём заряд: q = 4 · 10⁻⁶ Кл.
2. Вычислим энергию: W = (4 · 10⁻⁶ · 200)/2 = 4 · 10⁻⁴ Дж.
3. Найдём ёмкость: C = q/U = (4 · 10⁻⁶)/200 = 2 · 10⁻⁸ Ф.
4. Проверим: W = (2 · 10⁻⁸ · 200²)/2 = 4 · 10⁻⁴ Дж.

Ответ: W = 4 · 10⁻⁴ Дж; обе формулы дают один результат.

Задача 3

Заряженный конденсатор ёмкостью 10 мкФ отсоединили от источника, после чего ёмкость увеличили вдвое. Нужно найти отношение конечной энергии к начальной. После отключения источника заряд сохраняется, поэтому используем W = q²/(2C).

1. Обозначим начальную ёмкость C, а конечную — 2C.
2. Начальная энергия W₁ = q²/(2C), конечная W₂ = q²/(4C).
3. Разделим выражения: W₂/W₁ = 1/2.

Ответ: конечная энергия в два раза меньше начальной, то есть W₂/W₁ = 1/2.

Типичные ошибки

Ошибка — записывать W = CU² без множителя 1/2. Так делают, если считают, будто весь заряд переносится при конечном напряжении, хотя при зарядке напряжение растёт от нуля. Проверка: вспомните о среднем напряжении U/2.

Ошибка — считать заряд постоянным при подключённом источнике. Источник поддерживает напряжение, но может добавлять заряд на обкладки. Перед решением выясните, отсоединён ли конденсатор от источника.

Ошибка — смешивать условия изменения ёмкости. При отключённом источнике сохраняется заряд, а при подключённом обычно сохраняется напряжение. Проверяйте это по схеме и только затем выбирайте формулу.

Ошибка — подставлять микрофарады и микрокулоны без перевода в СИ. Степени десяти тогда становятся неверными, и ответ отличается на миллионы или миллиард. Записывайте 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф и 1 мкКл = 10⁻⁶ Кл.

Связь с другими темами

Для решения задач нужна связь между зарядом, ёмкостью и напряжением: q = CU. Без определения ёмкости трудно понять, почему изменение геометрии конденсатора влияет на его энергию.

Вывод формулы опирается на работу электрического поля и работу внешнего источника при переносе заряда. Поэтому энергия конденсатора связывает темы электрического поля, потенциала и закона сохранения энергии.

Понятие запасённой энергии пригодится при изучении электрических цепей и переходных процессов. Оно также помогает объяснить энергетические характеристики устройств, в которых конденсаторы быстро заряжаются и разряжаются.

Что запомнить

• Заряженный конденсатор обладает запасённой энергией.
• Энергия конденсатора равна работе, затраченной на его зарядку.
• W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C).
• При постоянной ёмкости энергия пропорциональна квадрату напряжения.
• При отключённом источнике заряд конденсатора сохраняется.
• При разряде энергия конденсатора передаётся другим элементам цепи.