§ 100. Конденсаторы

Определения и обозначения

Конденсатор — устройство для накопления электрического заряда и энергии электрического поля. Он состоит из двух проводников, называемых обкладками, разделённых изолирующим веществом или промежутком. При зарядке на обкладках появляются равные по модулю, но противоположные по знаку заряды. Такое устройство используют в электрических цепях, когда нужно накопить заряд или энергию.

Электроёмкость показывает, какой заряд одной обкладки соответствует данному напряжению между обкладками. Её обозначают C и вычисляют по формуле C = q/U, где q — модуль заряда одной обкладки, U — напряжение. Эта величина помогает сравнить способность разных конденсаторов накапливать заряд при одинаковом напряжении. Не следует путать ёмкость C с зарядом q: это разные физические величины.

Фарад — единица электроёмкости в Международной системе единиц. Конденсатор имеет ёмкость 1 Ф, если при напряжении 1 В заряд одной его обкладки равен 1 Кл; поэтому 1 Ф = 1 Кл/В. Фарад — большая единица для многих практических устройств. Часто встречаются микрофарады (мкФ), нанофарады (нФ) и пикофарады (пФ): 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф, 1 нФ = 10⁻⁹ Ф, 1 пФ = 10⁻¹² Ф.

Диэлектрик — изолирующее вещество между обкладками, например воздух или специальный материал. Он не даёт зарядам свободно перетекать с одной обкладки на другую и влияет на электрическое поле внутри конденсатора. Благодаря диэлектрику ёмкость становится больше, чем при том же устройстве без него. Это позволяет получить нужную ёмкость, не увеличивая размеры обкладок.

Как это устроено

Чтобы зарядить конденсатор, его обкладки соединяют с источником напряжения. Источник переносит электроны с одной обкладки на другую: на первой возникает недостаток электронов, на второй — избыток. Поэтому заряды равны по модулю и противоположны по знаку, а между обкладками возникает электрическое поле. Это поле создаёт разность потенциалов, то есть напряжение U; для определения ёмкости берут заряд только одной обкладки.

У одного и того же конденсатора отношение q/U остаётся постоянным, пока не меняются его устройство и среда между обкладками. Если сообщить обкладкам больший заряд, поле усилится и напряжение возрастёт в той же пропорции. Поэтому увеличение заряда само по себе не означает увеличения ёмкости. C характеризует конструкцию и материал, а q и U показывают состояние конденсатора в данный момент.

Для плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных пластин, ёмкость выражается формулой C = εε₀S/d. Здесь S — площадь каждой обкладки, d — расстояние между ними, ε — диэлектрическая проницаемость вещества, а ε₀ — электрическая постоянная. Чем больше площадь, тем большую поверхность занимают заряды и тем сильнее обкладки взаимодействуют; поэтому C растёт. При увеличении расстояния взаимодействие ослабевает, и ёмкость уменьшается, а материал с большей ε увеличивает её.

Диэлектрик состоит из частиц, которые в электрическом поле немного смещаются или ориентируются. Такое явление называют поляризацией: внутри вещества возникает поле, направленное против поля обкладок, поэтому результирующее поле ослабевает. При неизменном заряде напряжение между обкладками становится меньше. Следовательно, при том же заданном напряжении можно перенести на обкладки больший заряд, а отношение q/U — ёмкость — увеличивается.

При зарядке источник совершает работу, и энергия запасается в электрическом поле конденсатора. По мере переноса заряда напряжение растёт, поэтому нельзя просто считать, что весь заряд перемещался при одном и том же конечном напряжении. Учёт изменения напряжения даёт формулу W = qU/2. Подставляя q = CU или U = q/C, получаем равнозначные записи W = CU²/2 и W = q²/(2C); выбирай ту, для которой известны исходные величины.

Основные характеристики конденсатора

Сначала определи, какую величину нужно найти, а затем выбери подходящую строку и формулу. В задачах с микрофарадами и другими долями фарада переводи ёмкость в фарады, если требуется ответ в единицах СИ. Для энергии можно использовать любую из трёх равнозначных формул, подставив известные величины.

Разбор задач

1. Нахождение электроёмкости

Конденсатору сообщили заряд 24 мкКл, напряжение между обкладками составило 6 В. Найдём его электроёмкость. В формулу входит заряд одной обкладки, а не сумма модулей зарядов обеих обкладок.

1. Переведём заряд в кулоны: q = 24 мкКл = 24 · 10⁻⁶ Кл.
2. Используем определение ёмкости: C = q/U = (24 · 10⁻⁶ Кл)/(6 В).
3. Вычислим: C = 4 · 10⁻⁶ Ф = 4 мкФ.

Ответ: электроёмкость конденсатора равна 4 мкФ. Проверка размерности даёт Кл/В, то есть фарады. Заряд каждой обкладки по модулю равен 24 мкКл.

2. Изменение ёмкости плоского конденсатора

Площадь обкладок плоского конденсатора равна S, расстояние между ними — d. Площадь увеличивают в 2 раза, а расстояние уменьшают в 2 раза; требуется сравнить новую ёмкость с исходной. Рассуждаем по формуле C = εε₀S/d, считая материал между обкладками неизменным.

1. Запишем исходное значение: C₁ = εε₀S/d.
2. После изменения получаем S₂ = 2S и d₂ = d/2, поэтому C₂ = εε₀(2S)/(d/2).
3. Деление на d/2 равносильно умножению на 2/d: C₂ = 4εε₀S/d = 4C₁.

Ответ: ёмкость увеличится в 4 раза. Увеличение площади даёт множитель 2, а уменьшение расстояния вдвое даёт ещё один множитель 2. Эти изменения перемножаются, потому что S входит в формулу прямо, а d — в знаменатель.

3. Заряд и энергия конденсатора

Конденсатор ёмкостью 5 мкФ подключён к источнику напряжения 12 В. Нужно найти заряд обкладки и энергию электрического поля. Сначала найдём заряд из связи q = CU, затем используем формулу энергии через ёмкость и напряжение.

1. Переведём ёмкость в фарады: C = 5 мкФ = 5 · 10⁻⁶ Ф.
2. Вычислим заряд: q = CU = 5 · 10⁻⁶ Ф · 12 В = 60 · 10⁻⁶ Кл = 60 мкКл.
3. Найдём энергию: W = CU²/2 = (5 · 10⁻⁶ · 12²)/2 Дж = 3,6 · 10⁻⁴ Дж.

Ответ: q = 60 мкКл, W = 3,6 · 10⁻⁴ Дж. При вычислении энергии напряжение возводится в квадрат, поэтому сначала важно подставить его в вольтах. Проверить результат можно по формуле W = qU/2.

Типичные ошибки

В формулу C = q/U иногда подставляют сумму модулей зарядов двух обкладок. Так делают, потому что рассматривают обе обкладки сразу, хотя в определении используется заряд одной из них: заряды +q и −q имеют одинаковый модуль q. Проверь себя: для конденсатора с зарядом обкладок ±q в формуле должно стоять q, а не 2q.

Можно решить, что ёмкость меняется вместе с зарядом: чем больше заряд, тем будто бы больше C. Ошибка возникает из-за того, что заряд действительно растёт при увеличении напряжения. Но у неизменного конденсатора q и U растут пропорционально, поэтому отношение q/U постоянно; проверить это можно вычислением отношения для двух состояний.

Электроёмкость иногда путают с зарядом или бытовым значением слова «ёмкость». Причина — сходное звучание, хотя C измеряется в фарадах, а q — в кулонах; число, записанное в мкФ, не является зарядом. Перед решением подпиши каждую величину и её единицу. Если требуется найти заряд, используй q = CU, а не называй ёмкость зарядом.

В формуле энергии могут забыть множитель 1/2 или подставить величины не в единицах СИ. Это происходит, когда формулу вспоминают как W = CU² или не переводят микрофарады в фарады. Сверь запись с W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C) и проверь, что результат выражен в джоулях. Для контроля вычисли энергию второй равнозначной формулой.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться с конденсатором, нужны понятия электрического заряда, напряжённости электрического поля, разности потенциалов и напряжения. Заряды обкладок создают поле, а разность потенциалов между ними задаёт напряжение, входящее в формулу ёмкости. Поэтому знакомые идеи об электрическом взаимодействии помогают понять, откуда берутся формулы конденсатора. При расчётах также пригодятся единицы заряда, напряжения и энергии.

В электрических цепях конденсаторы используют для накопления заряда и энергии. Их свойства особенно важны при изучении электрических колебаний, где энергия электрического поля может переходить в другие виды энергии. Позднее это помогает понять процессы в цепях переменного тока. Формулы ёмкости и энергии позволяют описывать такие устройства количественно.

Что запомнить

• Конденсатор состоит из двух обкладок, разделённых диэлектриком.
• Электроёмкость C = q/U.
• Единица электроёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Для плоского конденсатора C = εε₀S/d.
• Диэлектрик увеличивает ёмкость конденсатора.
• Энергия конденсатора W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C).