§ 1.25. Конденсаторы

Определения и обозначения

Конденсатор — устройство из двух проводников, разделённых диэлектриком, предназначенное для накопления заряда и энергии электрического поля. Проводники называют обкладками. Такая конструкция позволяет разделить заряды и создать между обкладками электрическое поле.

Электроёмкость — физическая величина, равная отношению модуля заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: C = q/U. Она показывает, какой заряд конденсатор приобретает при напряжении 1 В. Единица электроёмкости в СИ — фарад (Ф).

Плоский конденсатор имеет две параллельные проводящие пластины. Его ёмкость вычисляют по формуле C = εε₀S/d, где S — площадь пластины, d — расстояние между пластинами, ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества, а ε₀ — электрическая постоянная. Формула связывает электрические свойства конденсатора с его устройством.

Энергия электрического поля конденсатора — энергия, запасённая при его зарядке. Её можно найти тремя равными способами: W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C). Выбор формулы зависит от того, какие из величин q, U и C известны в условии.

Как это устроено

Если два проводника разделить диэлектриком и подключить к источнику, электроны переходят с одного проводника на другой. На проводнике, потерявшем электроны, возникает положительный заряд, а на проводнике, получившем их, — отрицательный. Число перешедших электронов одинаково, поэтому заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку: +q и −q. Диэлектрик препятствует прямому прохождению зарядов между обкладками, но электрическое поле через него существует.

При зарядке конденсатора напряжение между обкладками растёт вместе с зарядом. Для одного и того же конденсатора отношение q/U остаётся постоянным, поэтому его и принимают за электроёмкость: C = q/U. Ёмкость определяется формой, размерами и взаимным расположением проводников, а также свойствами диэлектрика между ними. Если конструкция не меняется, увеличение заряда не означает увеличения C: одновременно пропорционально возрастает и U.

В плоском конденсаторе поле между большими близкими пластинами почти однородно, поэтому напряжение связано с напряжённостью как U = Ed. При увеличении площади S больше заряд может разместиться на пластинах при том же поле и напряжении, поэтому C растёт. При увеличении расстояния d для того же напряжения требуется меньше напряжённость поля, а способность накапливать заряд уменьшается. Так получается зависимость C = εε₀S/d.

Молекулы диэлектрика поляризуются в электрическом поле: их положительные и отрицательные заряды немного смещаются в противоположные стороны. Возникающее поле поляризации направлено навстречу внешнему и ослабляет результирующее поле внутри конденсатора. Если конденсатор подключён к источнику, это позволяет при том же напряжении накопить больший заряд, поэтому ёмкость возрастает в ε раз. При зарядке энергия передаётся полю конденсатора постепенно, потому что напряжение увеличивается от нуля до конечного значения; среднее напряжение равно U/2, и потому W = qU/2.

Основные величины и формулы для конденсатора

Таблицу удобно использовать как справочник: сначала определите, какая величина неизвестна, а затем выберите формулу с известными данными. В задачах на плоский конденсатор сначала проверьте единицы S и d, а при соединении сначала установите тип участка цепи. Для энергии можно выбрать любую из трёх формул, но подставлять нужно согласованный набор величин.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 10 мкФ подключён к источнику напряжением 12 В. Найдём заряд на каждой обкладке. Используем q = CU, причём заряд в ответе будет иметь одинаковый модуль на обеих обкладках.

1. Переведём ёмкость в СИ: 10 мкФ = 10·10⁻⁶ Ф.
2. Подставим данные: q = 10·10⁻⁶ · 12 = 1,2·10⁻⁴ Кл.

Ответ: на обкладках находятся заряды +1,2·10⁻⁴ Кл и −1,2·10⁻⁴ Кл; модуль заряда каждой обкладки равен 120 мкКл.

Задача 2

Площадь пластин равна 200 см², расстояние между ними — 1 мм, относительная диэлектрическая проницаемость равна 4, напряжение — 100 В. Нужно найти ёмкость и энергию. Здесь сначала применяем геометрическую формулу, а затем формулу энергии.

1. Переведём единицы: S = 200·10⁻⁴ = 0,02 м², d = 10⁻³ м.
2. Вычислим ёмкость: C = 4·8,85·10⁻¹²·0,02/10⁻³ ≈ 7,08·10⁻¹⁰ Ф.
3. Найдём энергию: W = CU²/2 ≈ 7,08·10⁻¹⁰·100²/2 ≈ 3,54·10⁻⁶ Дж.

Ответ: C ≈ 0,708 нФ, W ≈ 3,54 мкДж.

Задача 3

Конденсаторы 3 мкФ и 6 мкФ соединены последовательно, а эта ветвь параллельна конденсатору 4 мкФ. Вся система подключена к 12 В. Разберём схему от простого участка к общему, чтобы не смешать правила соединения.

1. Для последовательной пары: 1/C₁₂ = 1/3 + 1/6, поэтому C₁₂ = 2 мкФ.
2. Параллельно ей подключён конденсатор 4 мкФ: Cобщ = 2 + 4 = 6 мкФ.
3. Заряд системы: qобщ = CобщU = 6·12 = 72 мкКл. На одиночном параллельном конденсаторе U₃ = 12 В, q₃ = 4·12 = 48 мкКл.
4. В последовательной ветви заряд одинаков: q₁ = q₂ = C₁₂U = 2·12 = 24 мкКл. Поэтому U₁ = 24/3 = 8 В, U₂ = 24/6 = 4 В.

Ответ: Cобщ = 6 мкФ; для 3 мкФ: q = 24 мкКл, U = 8 В; для 6 мкФ: q = 24 мкКл, U = 4 В; для 4 мкФ: q = 48 мкКл, U = 12 В.

Типичные ошибки

Подстановка полного заряда системы вместо заряда одной обкладки искажает результат в формуле C = q/U. Так ошибаются, потому что говорят о «заряде конденсатора», забывая уточнить его смысл. Проверяйте знак и модуль: в формулу входит |q| одной обкладки, а заряды обкладок равны +q и −q.

Нельзя считать, что ёмкость всегда увеличивается вместе с зарядом. При неизменной конструкции C постоянно, а q и U изменяются пропорционально. Проверьте себя по формуле C = q/U: если отношение не изменилось, изменилась не ёмкость, а состояние конденсатора.

Иногда путают зависимости в формуле C = εε₀S/d. Увеличение площади повышает ёмкость, а увеличение расстояния уменьшает её. Это легко проверить мысленно: большая площадь вмещает больше заряда, а большее расстояние делает накопление заряда при том же напряжении менее эффективным.

Правила соединения нельзя менять местами. При параллельном соединении складываются ёмкости, а при последовательном — обратные величины 1/C. Самопроверка проста: при параллельном соединении общая ёмкость больше каждой отдельной, а при последовательном — меньше наименьшей.

Связь с другими темами

До изучения конденсаторов нужны понятия электрического заряда, напряжения и работы электрического поля. Также пригодятся единицы СИ и формула для напряжённости поля между параллельными пластинами. Эти знания объясняют появление заряда, напряжения и поля в конденсаторе.

Конденсаторы используются при изучении электрических цепей, процессов зарядки и разрядки, фильтров и колебательных контуров. В этих задачах важно понимать, как меняются q, U и энергия со временем. Правила соединения помогают заменять сложные участки цепи эквивалентными.

Формулы W = CU²/2, W = qU/2 и W = q²/(2C) связывают конденсатор с энергией электрического поля. Они применяются при рассмотрении превращений энергии и закона сохранения энергии. Через них можно оценивать запас энергии в цепи перед разрядом.

Что запомнить

• Конденсатор состоит из двух проводников, разделённых диэлектриком.
• Электроёмкость определяется формулой C = q/U.
• Единица электроёмкости в СИ — фарад.
• Для плоского конденсатора C = εε₀S/d.
• Энергия конденсатора W = CU²/2.
• При параллельном соединении ёмкости складываются.
• При последовательном соединении складываются обратные величины ёмкостей.