§ 17. Конденсаторы

Определения и обозначения

Конденсатор — система из двух проводников, разделённых слоем диэлектрика, то есть вещества, которое плохо проводит электрический ток. Проводники называют обкладками. При зарядке на них появляются заряды противоположных знаков, поэтому конденсатор может хранить заряд и энергию электрического поля.

Электрическая ёмкость C — отношение модуля заряда одной обкладки q к напряжению U между обкладками: C = q/U. Заряды обкладок равны по модулю, поэтому q не означает сумму зарядов на них. Ёмкость нужна, чтобы сравнивать, какой заряд может накопить устройство при заданном напряжении.

Фарад — единица электрической ёмкости в СИ: 1 Ф = 1 Кл/В. Конденсатор имеет ёмкость один фарад, если при напряжении один вольт модуль заряда его обкладки равен одному кулону. На практике часто используют доли фарада, например микрофарад: 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф.

Плоский конденсатор — конденсатор из двух параллельных пластин. Его ёмкость зависит от площади пластин S, расстояния d между ними и диэлектрика, заполняющего промежуток: C = ε₀εS/d. Это определение позволяет предсказать, как изменится ёмкость при изменении конструкции.

Как это устроено

Если обкладки подключить к источнику напряжения, источник переносит электроны с одной обкладки на другую. На той, куда электроны поступают, возникает отрицательный заряд, а на обкладке, потерявшей электроны, — положительный. Поскольку переносится одно и то же число электронов, модули зарядов равны, а знаки противоположны. Заряды создают электрическое поле между обкладками, а диэлектрик препятствует их непосредственному переходу друг к другу.

Для одного и того же конденсатора увеличение напряжения сопровождается пропорциональным увеличением заряда: если U возрастает в несколько раз, во столько же раз возрастает q. Поэтому отношение q/U не меняется и называется ёмкостью. Она характеризует сам конденсатор, а не то, насколько сильно он заряжен в данный момент. Если изменить его размеры или заменить диэлектрик, постоянное отношение может стать другим.

У плоского конденсатора C = ε₀εS/d. Большая площадь пластин позволяет разделить больше зарядов, поэтому увеличение S повышает ёмкость. При большем расстоянии d электрическое взаимодействие обкладок слабее и для того же напряжения на них накапливается меньше заряда, так что ёмкость уменьшается. Величина ε показывает, во сколько раз вещество усиливает ёмкость по сравнению с вакуумом; ε₀ — электрическая постоянная.

Если между обкладками внести диэлектрик, его молекулы поляризуются: положительные и отрицательные заряды внутри них немного смещаются в противоположные стороны. Возникает дополнительное поле, направленное против поля обкладок, поэтому при заданном заряде результирующее поле становится слабее. Вместе с полем уменьшается напряжение между обкладками. Так как C = q/U, при том же q уменьшение U означает увеличение ёмкости; в формуле плоского конденсатора это отражено множителем ε.

Заряженный конденсатор обладает энергией электрического поля, которую можно вычислить как W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C). Формулы равносильны: между q, U и C выполняется q = CU. Если известны ёмкость и напряжение, удобнее W = CU²/2; если известны заряд и напряжение — W = qU/2. При известных заряде и ёмкости выбирают W = q²/(2C), не забывая переводить значения в СИ.

Основные величины и соотношения для конденсатора

Сначала определите, какая величина требуется, и найдите в таблице подходящую связь. Затем проверьте, что исходные данные выражены в единицах СИ. Для энергии используйте ту равносильную формулу, в которой есть только известные величины.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор ёмкостью 4 мкФ подключён к напряжению 12 В. Найдём модуль заряда одной обкладки. Здесь известны C и U, поэтому используем определение ёмкости, выраженное как q = CU.

1. Переведём ёмкость в фарады: 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф. Напряжение уже дано в вольтах, значит, дополнительные переводы не требуются.
2. Подставим значения: q = CU = 4 · 10⁻⁶ Ф · 12 В = 48 · 10⁻⁶ Кл. Так как 1 Ф · 1 В = 1 Кл, результат получен в кулонах.

Ответ: модуль заряда одной обкладки равен 48 мкКл, или 4,8 · 10⁻⁵ Кл. На другой обкладке заряд такой же по модулю, но противоположного знака.

Задача 2. Заряд конденсатора равен 60 мкКл, напряжение — 15 В. Требуется найти ёмкость и выразить её в микрофарадах. Из определения C = q/U сразу видно, что нужно разделить заряд на напряжение.

1. Переведём заряд в кулоны: 60 мкКл = 60 · 10⁻⁶ Кл. Напряжение 15 В уже выражено в единицах СИ.
2. Вычислим ёмкость: C = q/U = (60 · 10⁻⁶ Кл)/(15 В) = 4 · 10⁻⁶ Ф. Проверка единиц даёт Кл/В, то есть фарады.

Ответ: C = 4 · 10⁻⁶ Ф = 4 мкФ. Результат согласуется с определением: ёмкость показывает отношение заряда к напряжению.

Задача 3. Площадь пластин плоского конденсатора равна 0,020 м², расстояние между ними — 1,0 мм, а относительная диэлектрическая проницаемость — 3. Найдём ёмкость, затем энергию при напряжении 100 В. Поскольку в формулах используются единицы СИ, сначала переведём расстояние из миллиметров в метры.

1. Переведём расстояние: d = 1,0 мм = 1,0 · 10⁻³ м. Используем ε₀ ≈ 8,85 · 10⁻¹² Ф/м и формулу C = ε₀εS/d.
2. Подставим данные: C = 8,85 · 10⁻¹² · 3 · 0,020/(1,0 · 10⁻³) Ф ≈ 5,31 · 10⁻¹⁰ Ф. Для энергии известны C и U, поэтому выбираем W = CU²/2.
3. Вычислим энергию: W = 5,31 · 10⁻¹⁰ · 100²/2 Дж ≈ 2,66 · 10⁻⁶ Дж. Квадрат напряжения равен 10 000 В², поэтому результат получается в джоулях.

Ответ: ёмкость конденсатора приблизительно равна 5,3 · 10⁻¹⁰ Ф, энергия при напряжении 100 В — примерно 2,7 · 10⁻⁶ Дж.

Типичные ошибки

Складывают заряды обкладок. Это ошибка: их алгебраическая сумма равна нулю, а q обозначает модуль заряда одной обкладки. Путаница возникает из-за того, что зарядов два. Проверьте себя: в формулу C = q/U подставляют модуль заряда одной обкладки.

Считают, что ёмкость растёт вместе с зарядом или напряжением. При зарядке конденсатора оба значения действительно меняются, но для данного устройства их отношение q/U остаётся постоянным. Ошибка появляется, когда изменение величин принимают за изменение характеристики устройства. Проверьте, не изменились ли конструкция или диэлектрик: если нет, ёмкость та же.

Не переводят площадь или расстояние в метры. Формула C = ε₀εS/d рассчитана на единицы СИ, а миллиметры и сантиметры дают неверный результат при прямой подстановке. Это часто происходит, когда берут числа из условия без проверки единиц. Перед вычислением запишите S в м² и d в м, а затем оцените порядок полученной ёмкости.

Подставляют заряд вместо ёмкости в формулу энергии. В W = CU²/2 буква C означает ёмкость, а не заряд. Путаница возникает из-за похожих обозначений и попытки воспользоваться первой попавшейся формулой. Проверьте известные данные: если даны q и U, используйте W = qU/2; если q и C — W = q²/(2C).

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в работе конденсатора, нужны понятия электрического заряда, напряжения, электрического поля и диэлектрика. Заряд объясняет появление противоположных знаков на обкладках, напряжение связывает их состояние с ёмкостью, а поле позволяет понять, где запасается энергия. Диэлектрик помогает объяснить, почему ёмкость меняется при заполнении промежутка между обкладками.

Конденсаторы встречаются в электрических цепях переменного тока и колебательных контурах. В контуре энергия переходит между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки, создавая электромагнитные колебания. Поэтому понимание ёмкости и энергии конденсатора понадобится при изучении этих тем.

Что запомнить

• Конденсатор состоит из двух проводников, разделённых диэлектриком.
• Заряды его обкладок равны по модулю и противоположны по знаку.
• Ёмкость определяется формулой C = q/U.
• Единица ёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Для плоского конденсатора C = ε₀εS/d.
• Энергия конденсатора W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C).