§ 1.24. Электрическая емкость

Определения и обозначения

Электрическая ёмкость проводника — отношение его заряда к потенциалу относительно выбранного нулевого уровня: C = q/φ. Она показывает, какой заряд соответствует данному потенциалу; ёмкость зависит от формы и размеров проводника, а также от окружающей среды. Это удобно для сравнения проводников, способных накапливать заряд.

Ёмкость конденсатора — отношение модуля заряда одной обкладки к разности потенциалов между обкладками: C = q/U. Здесь q — заряд одной обкладки по модулю, а U — напряжение между обкладками. Такая величина описывает систему в целом, а не отдельную обкладку.

Конденсатор — система из двух проводников-обкладок, разделённых диэлектриком или воздушным промежутком, предназначенная для накопления электрического заряда и энергии. Обкладки позволяют создать поле и удерживать противоположные заряды близко друг к другу. Это свойство используют в электрических цепях.

Ёмкость плоского конденсатора равна C = εε₀S/d, где S — площадь обкладок, d — расстояние между ними, ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ — электрическая постоянная. Формула помогает предсказать, как изменение конструкции повлияет на ёмкость. Она применима, когда обкладки плоские и их размеры значительно больше расстояния между ними.

Как это устроено

Когда проводнику сообщают заряд, его электрическое поле изменяется, а вместе с ним меняется и потенциал проводника. При увеличении заряда потенциал обычно растёт: для одного и того же проводника заряд и потенциал пропорциональны. Поэтому отношение q/φ характеризует не конкретный заряд, а способность проводника накапливать заряд при заданном потенциале.

У конденсатора важна разность потенциалов между обкладками, потому что именно она связана с полем внутри системы. Потенциал каждой обкладки по отдельности зависит от выбора нулевого уровня, а разность потенциалов от этого выбора не меняется. Обкладки получают равные по модулю противоположные заряды, поэтому в формулу подставляют модуль заряда одной из них: суммарный заряд обеих обкладок равен нулю и не показывает, сколько заряда разделено в конденсаторе.

Близкие обкладки с противоположными зарядами создают поля, направленные между ними в одну сторону, поэтому в промежутке эти поля усиливают друг друга. Снаружи обкладок поля направлены противоположно и в значительной мере компенсируются. В результате электрическое поле сосредоточено главным образом между обкладками, а конденсатор может хранить заметный заряд при сравнительно небольшом напряжении.

Площадь обкладок влияет на количество заряда, который можно разместить при заданном напряжении: большая площадь позволяет накопить больше заряда, поэтому C растёт вместе с S. Если увеличить расстояние d, при том же заряде разность потенциалов станет больше, а отношение q/U — меньше. Диэлектрик поляризуется в поле и ослабляет его внутри промежутка; поэтому при том же заряде напряжение уменьшается, а ёмкость возрастает в ε раз.

Единица ёмкости следует из определения C = q/U: один фарад равен одному кулону на вольт, 1 Ф = 1 Кл/В. Фарад — крупная единица для многих практических устройств, поэтому часто используют микрофарады (мкФ), нанофарады (нФ) и пикофарады (пФ). При переводе важно помнить: 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф, 1 нФ = 10⁻⁹ Ф, 1 пФ = 10⁻¹² Ф.

Основные зависимости электрической ёмкости

Сначала определите, о каком объекте идёт речь: для проводника нужна связь с потенциалом, для конденсатора — с напряжением, а для плоского конденсатора — геометрическая формула. Затем проверьте, какие параметры остаются неизменными. По формулам можно понять направление изменения ёмкости, даже не подставляя числа.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатору сообщили заряд 6 мкКл, после чего напряжение между его обкладками стало 12 В. Найдём ёмкость по определению C = q/U. Переведём заряд в кулоны: 6 мкКл = 6 · 10⁻⁶ Кл.

1. Подставим известные величины: C = (6 · 10⁻⁶ Кл)/12 В.
2. Выполним деление: C = 0,5 · 10⁻⁶ Кл/В = 0,5 · 10⁻⁶ Ф.
3. Переведём результат в более удобную единицу: C = 0,5 мкФ.

Вычисление показывает, сколько кулонов заряда приходится на каждый вольт напряжения. Проверка единиц даёт Кл/В, то есть фарады. Ответ: 0,5 мкФ.

Задача 2. Найдём ёмкость плоского воздушного конденсатора с площадью обкладок 0,02 м² и расстоянием 1 мм. Для воздуха принимаем ε ≈ 1, поэтому используем C = ε₀S/d. Сначала переведём миллиметры в метры: d = 0,001 м.

1. Подставим ε₀ ≈ 8,85 · 10⁻¹² Ф/м, S = 0,02 м² и d = 0,001 м.
2. Вычислим: C = 8,85 · 10⁻¹² · 0,02 / 0,001 Ф = 1,77 · 10⁻¹⁰ Ф.
3. При необходимости переведём в пикофарады: C = 177 пФ.

Размерность результата получается в фарадах, поскольку в формуле учтена электрическая постоянная. Малое значение объясняется небольшой площадью обкладок по сравнению с расстоянием между ними. Ответ: 1,77 · 10⁻¹⁰ Ф, или 177 пФ.

Задача 3. Расстояние между обкладками уменьшили в 3 раза, а пространство между ними заполнили диэлектриком с ε = 4. Сравним ёмкости по формуле C = εε₀S/d. Площадь обкладок и ε₀ не меняются, поэтому в отношении останутся только изменения ε и d.

1. Уменьшение расстояния втрое означает d₂ = d₁/3, поэтому множитель 1/d увеличится в 3 раза.
2. Заполнение промежутка диэлектриком даёт ещё множитель ε = 4 по сравнению с воздухом.
3. Перемножим факторы: C₂/C₁ = 3 · 4 = 12.

Оба изменения повышают ёмкость, поэтому результат должен быть больше исходного. Здесь не требуется знать начальную площадь или расстояние: они сокращаются при сравнении. Ответ: ёмкость увеличилась в 12 раз.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать зарядом конденсатора сумму зарядов двух обкладок. Поскольку заряды противоположны, такая сумма равна нулю; путаница возникает из-за слова «заряд» без уточнения. Проверка: в формуле C = q/U должно стоять значение модуля заряда одной обкладки.

Вторая ошибка — использовать для конденсатора формулу C = q/φ. Её применяют к уединённому проводнику, а для пары обкладок нужно учитывать напряжение между ними. Перед вычислением проверьте, какой объект описан в условии и какая разность потенциалов дана.

Третья ошибка — полагать, что при увеличении заряда обязательно растёт ёмкость. Так рассуждают, забывая, что ёмкость определяется устройством конденсатора; при неизменной конструкции вместе с q пропорционально меняется U. Проверьте себя: если отношение q/U осталось прежним, ёмкость не изменилась.

Четвёртая ошибка — перепутать влияние площади и расстояния. Увеличение площади повышает ёмкость, а увеличение расстояния между обкладками её уменьшает; ошибку легко допустить, запоминая формулу без смысла дроби. Проверка по C = εε₀S/d: S стоит в числителе, d — в знаменателе.

Связь с другими темами

Для работы с ёмкостью нужны понятия электрического заряда, потенциала и разности потенциалов, а также напряжённости электрического поля и диэлектрической проницаемости. Заряженный конденсатор способен запасать энергию электрического поля; её величину связывают с ёмкостью, зарядом и напряжением. Дальше понятие ёмкости используют при расчёте соединений конденсаторов и электрических цепей, а также при изучении применения конденсаторов в радиотехнике и электронике.

Что запомнить

• Электрическая ёмкость характеризует способность тела или системы накапливать заряд.
• Для конденсатора C = q/U.
• Ёмкость измеряется в фарадах.
• При неизменных геометрии и диэлектрике ёмкость не зависит от заряда и напряжения.
• Для плоского конденсатора C = εε₀S/d.
• Увеличение площади обкладок или диэлектрической проницаемости повышает ёмкость.
• Увеличение расстояния между обкладками уменьшает ёмкость.