§ 55. Электрическая ёмкость

Определения и обозначения

Электрическая ёмкость уединённого проводника — отношение его заряда q к потенциалу φ: C = q/φ. Потенциал показывает энергетическое состояние заряженного проводника в электрическом поле. Ёмкость обозначают буквой C, а измеряют в фарадах (Ф). Это отношение позволяет сравнивать проводники по тому, какой заряд соответствует заданному потенциалу.

Конденсатор — система из двух проводников, разделённых слоем диэлектрика, то есть вещества, почти не проводящего электрический ток. Проводники называют обкладками. При зарядке на них возникают заряды, равные по модулю и противоположные по знаку: если одна обкладка получает заряд +q, другая получает −q. Такое устройство позволяет накапливать заряд на двух близко расположенных проводниках.

Электрическая ёмкость конденсатора — отношение модуля заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: C = q/U. Здесь q берут для одной обкладки, а U — разность потенциалов обкладок. Ёмкость измеряется в фарадах, как и ёмкость отдельного проводника. Формула показывает, какой заряд соответствует заданному напряжению для этого конденсатора.

Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин-обкладок. Площадь каждой пластины обозначают S, а расстояние между ними — d. Эти величины нужны, чтобы описать геометрию устройства и установить, как она влияет на ёмкость. Между пластинами находится диэлектрик.

Как это устроено

Если сообщить уединённому проводнику заряд, он приобретёт некоторый потенциал. При неизменной форме и размерах увеличение заряда в одинаковое число раз во столько же раз увеличивает и потенциал: электрическое поле проводника становится сильнее. Поэтому отношение q/φ остаётся постоянным и характеризует сам проводник, а не выбранное количество заряда. Так ёмкость показывает, насколько большой заряд нужен, чтобы создать определённый потенциал.

Заряды на обкладках конденсатора возникают при переносе электронов с одной обкладки на другую, например при подключении к источнику напряжения. Потерявшая электроны обкладка получает положительный заряд, а получившая электроны — отрицательный; число перенесённых электронов одинаково, поэтому модули зарядов равны. Между обкладками возникает электрическое поле, а напряжение связано с работой перемещения заряда в этом поле. При неизменном устройстве большему заряду соответствует пропорционально большее напряжение, поэтому q/U постоянно.

Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, поскольку они определяют распределение электрического поля и то, сколько зарядов можно разместить при данном напряжении. На неё влияет и расстояние между обкладками: оно меняет поле и напряжение, создаваемое данным зарядом. Наконец, важны свойства диэлектрика между проводниками. Следовательно, одна и та же пара значений q и U не задаёт ёмкость всех конденсаторов: нужно учитывать их устройство и среду.

У плоского конденсатора площадь пластин и расстояние между ними позволяют качественно предсказать изменение ёмкости. Чем больше площадь S, тем больше зарядов могут разместить обращённые друг к другу поверхности при том же напряжении. Чем меньше расстояние d, тем сильнее взаимодействуют обкладки и тем больший заряд соответствует данному напряжению. Поэтому ёмкость растёт с увеличением площади и уменьшается с увеличением расстояния.

Диэлектрик между обкладками влияет на поле и тем самым изменяет связь между зарядом и напряжением. Для плоского конденсатора ёмкость выражается формулой C = ε₀εS/d, где ε₀ — электрическая постоянная, а ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Чем больше ε, тем больше ёмкость при тех же S и d. Формула применима к плоскому конденсатору, если краевыми эффектами поля можно пренебречь.

Электрическая ёмкость проводника и конденсатора

Сопоставляйте, какая величина стоит в знаменателе: для уединённого проводника это потенциал, для конденсатора — напряжение. В обоих случаях единица ёмкости одна и та же. При разборе конкретного устройства дополнительно проверяйте его геометрию и материал между обкладками.

Разбор задач

Заряд проводника равен 6 нКл, а его потенциал — 3 В. Нужно найти ёмкость и выразить её в удобных единицах. Используем определение для уединённого проводника, поскольку в условии дан потенциал, а не напряжение между обкладками. Переведём заряд в кулоны и вычислим отношение q/φ.

1. Записываем формулу: C = q/φ.
2. Переводим заряд: 6 нКл = 6 · 10⁻⁹ Кл.
3. Подставляем значения: C = (6 · 10⁻⁹ Кл)/(3 В) = 2 · 10⁻⁹ Ф.
4. Так как 1 нФ = 10⁻⁹ Ф, получаем C = 2 нФ.

Ответ: ёмкость проводника равна 2 нФ. Единица получается верной, поскольку 1 Ф = 1 Кл/В. Удобно сначала переводить заряд в кулоны, а затем при необходимости записывать ответ в кратных единицах.

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ подключён к напряжению 12 В. Требуется определить заряд каждой обкладки. Для конденсатора применяем C = q/U и находим модуль заряда одной обкладки. Затем учитываем, что на второй обкладке заряд такой же по модулю, но противоположного знака.

1. Выражаем заряд: q = CU.
2. Подставляем значения: q = 4 мкФ · 12 В = 48 мкКл, так как 1 Ф · 1 В = 1 Кл.
3. Записываем заряды обеих обкладок: +48 мкКл и −48 мкКл (знак зависит от того, какую обкладку считать первой).

Ответ: модуль заряда каждой обкладки равен 48 мкКл; заряды имеют противоположные знаки. Складывать их модули для подстановки в формулу нельзя: q в C = q/U — заряд одной обкладки. Если сложить заряды со знаками, общий заряд системы будет равен нулю, но это не означает отсутствия заряда на обкладках.

Площадь пластин плоского конденсатора увеличили в 2 раза, а расстояние между ними уменьшили в 3 раза. Нужно определить, во сколько раз изменилась ёмкость, не находя её абсолютное значение. Используем зависимость C = ε₀εS/d и считаем, что диэлектрик не изменился. Ёмкость прямо пропорциональна площади и обратно пропорциональна расстоянию.

1. Обозначим исходную ёмкость C₁ = ε₀εS/d.
2. После изменения площадь равна 2S, а расстояние — d/3.
3. Находим отношение: C₂/C₁ = (ε₀ε · 2S/(d/3))/(ε₀εS/d) = 6.

Ответ: ёмкость увеличилась в 6 раз. Удвоение площади даёт множитель 2, а уменьшение расстояния втрое — множитель 3, поэтому изменения перемножаются. Такой способ сравнения позволяет обойтись без числовых значений ε₀, ε, S и d.

Типичные ошибки

• Ёмкость иногда принимают за количество заряда, потому что обе величины описывают свойства электрического устройства. Но заряд может меняться при подключении к источнику, тогда как ёмкость при неизменной конструкции остаётся той же. Проверьте себя: заряд измеряется в кулонах, ёмкость — в фарадах.

• В формулу конденсатора могут подставить сумму модулей зарядов обеих обкладок. Так поступают, замечая два заряда, но определение C = q/U использует модуль заряда только одной обкладки. Проверьте запись: у второй обкладки заряд противоположен, и для вычисления q не нужно складывать модули.

• Можно решить, что ёмкость определяется только измеренными q и U, поскольку её находят как их отношение. Однако для данного конденсатора это отношение остаётся постоянным при изменении заряда лишь тогда, когда его устройство и диэлектрик не меняются. Проверьте себя, задав вопрос: изменились ли площадь, расстояние или вещество между обкладками?

• Иногда считают, что увеличение расстояния между пластинами повышает ёмкость, или забывают влияние площади. Ошибка возникает из-за неверного чтения пропорциональности в формуле C = ε₀εS/d: S находится в числителе, а d — в знаменателе. Проверьте направление изменения: большая площадь повышает ёмкость, большее расстояние уменьшает её.

Связь с другими темами

Для изучения ёмкости понадобятся понятия электрического заряда, потенциала и напряжения. Заряд показывает, сколько электричества накоплено, потенциал относится к отдельной точке поля, а напряжение характеризует разность потенциалов между обкладками. Также важно знать единицы этих величин, чтобы подставлять значения в формулы без ошибок.

Понятие ёмкости понадобится при изучении соединения конденсаторов: при последовательном и параллельном соединении меняется общая ёмкость системы. Оно также связано с электрическим полем и его энергией, поскольку поле между обкладками конденсатора может накапливать энергию. Поэтому ёмкость помогает описывать и отдельный прибор, и электрические цепи.

Что запомнить

• Ёмкость уединённого проводника равна отношению его заряда к потенциалу.
• Ёмкость конденсатора: C = q/U.
• Единица электрической ёмкости — фарад.
• Заряды обкладок конденсатора равны по модулю и противоположны по знаку.
• Ёмкость зависит от размеров и формы проводников и от свойств среды между ними.
• Для плоского конденсатора ёмкость растёт с увеличением площади пластин и уменьшается с увеличением расстояния между ними.