§ 54. Потенциал электростатического поля

Определения и обозначения

Потенциал электростатического поля φ — скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда к этому заряду: φ = Wп/q. Его измеряют в вольтах (В), причём 1 В = 1 Дж/Кл. Потенциал нужен, чтобы описывать энергетические свойства поля в точке независимо от того, какой пробный заряд в неё поместили.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 — величина φ₁ − φ₂, где φ₁ и φ₂ обозначают потенциалы начальной и конечной точек. Она определяет работу поля при перемещении заряда: A₁₂ = q(φ₁ − φ₂). Эта разность показывает, насколько изменится энергия заряда при таком перемещении.

Потенциал точечного заряда Q на расстоянии r от него при нулевом потенциале на бесконечности вычисляют по формуле φ = kQ/r. Здесь k — постоянная, а r — расстояние от заряда до рассматриваемой точки. Формула позволяет находить потенциал, не вычисляя сначала силу, действующую на пробный заряд.

Эквипотенциальная поверхность — поверхность, во всех точках которой потенциал одинаков. Поэтому при перемещении заряда по ней разность потенциалов между началом и концом пути равна нулю. Такие поверхности помогают наглядно представить распределение потенциала в поле.

Как это устроено

Потенциал вводят как энергетическую характеристику поля, потому что потенциальная энергия зависит от величины пробного заряда. Если заряд увеличить в несколько раз, энергия в той же точке возрастёт во столько же раз. Поэтому отношение Wп/q не зависит от выбора пробного заряда и описывает именно поле; из определения следует Wп = qφ.

Работа электростатического поля при переносе заряда связана с изменением его потенциальной энергии: работа равна уменьшению этой энергии. Так как Wп = qφ, получаем A₁₂ = Wп₁ − Wп₂ = qφ₁ − qφ₂ = q(φ₁ − φ₂). Электростатическое поле потенциально: его работа не зависит от траектории, а определяется только начальной и конечной точками.

Потенциал является скаляром: у него есть числовое значение и знак, но нет направления, как у вектора напряжённости. Поэтому при наличии нескольких зарядов складывают не направления, а численные значения потенциалов от каждого источника. Суммирование проводят алгебраически: положительные вклады прибавляют, отрицательные вычитают.

Для точечного заряда напряжённость поля на расстоянии r равна E = k|Q|/r² и направлена вдоль радиуса. При выборе нуля потенциала на бесконечности потенциал находят как φ = kQ/r: его знак определяется знаком Q. Чем дальше от заряда точка, тем меньше модуль потенциала, потому что расстояние стоит в знаменателе.

Эквипотенциальная поверхность объединяет точки, между которыми нет разности потенциалов. Поэтому работа при перемещении заряда вдоль такой поверхности равна нулю. Линии напряжённости перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям: если бы у поля была составляющая вдоль поверхности, она совершала бы работу при движении по ней, а потенциал менялся бы.

Потенциал, работа поля и потенциал точечного заряда

Сначала определите, какую величину требуется найти, а затем выберите соответствующую строку. Для работы особенно важно сохранить порядок точек: сначала начальная, затем конечная. Перед подстановкой проверьте, что заряд выражен в кулонах, а расстояние — в метрах.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Заряд 2 мКл перемещают из точки с потенциалом 12 В в точку с потенциалом 5 В. Нужно найти работу поля. Поскольку порядок точек задан, используем разность «начальный потенциал минус конечный».

1. Запишем данные: q = 2 мКл = 2·10⁻³ Кл, φ₁ = 12 В, φ₂ = 5 В.
2. Найдём разность потенциалов: φ₁ − φ₂ = 12 − 5 = 7 В.
3. Подставим значения: A₁₂ = q(φ₁ − φ₂) = 2·10⁻³·7 = 0,014 Дж.

Ответ: работа поля равна 0,014 Дж. Она положительна, потому что положительный заряд перемещается в сторону меньшего потенциала.

Задача 2

Условие. Найдём потенциал поля заряда Q = 4 нКл на расстоянии 30 см. Для точечного заряда используем φ = kQ/r, предварительно переведя величины в СИ. Примем k = 9·10⁹ Н·м²/Кл².

1. Переведём заряд и расстояние: Q = 4·10⁻⁹ Кл, r = 0,30 м.
2. Подставим данные: φ = 9·10⁹·4·10⁻⁹/0,30.
3. Вычислим: φ = 36/0,30 = 120 В.

Ответ: потенциал равен 120 В. Он положителен, потому что заряд-источник положительный.

Задача 3

Условие. В точке на расстояниях 20 см и 10 см находятся источники Q₁ = 3 нКл и Q₂ = −2 нКл соответственно. Найдём потенциал точки, а затем работу при перемещении заряда 1 нКл из неё в точку с потенциалом 50 В. Вклады источников складываются со знаками.

1. Переведём величины: r₁ = 0,20 м, r₂ = 0,10 м, Q₁ = 3·10⁻⁹ Кл, Q₂ = −2·10⁻⁹ Кл.
2. Найдём потенциалы источников: φ₁ = kQ₁/r₁ = 135 В, φ₂ = kQ₂/r₂ = −180 В.
3. Сложим их алгебраически: φ = 135 − 180 = −45 В.
4. Для переноса q = 1·10⁻⁹ Кл из этой точки в точку с φ₂т = 50 В используем A = q(φнач − φкон). Тогда A = 1·10⁻⁹·(−45 − 50) = −9,5·10⁻⁸ Дж.

Ответ: потенциал исходной точки равен −45 В, работа поля — −9,5·10⁻⁸ Дж. Отрицательный знак показывает, что при таком перемещении поле совершает отрицательную работу.

Типичные ошибки

Потенциал иногда принимают за потенциальную энергию. Это разные величины: энергия зависит от пробного заряда и равна Wп = qφ, а потенциал характеризует поле в точке. Чтобы проверить себя, сравните единицы: энергия измеряется в джоулях, потенциал — в вольтах.

При вычислении φ = kQ/r можно потерять знак заряда-источника. Ошибка возникает, когда в формулу подставляют только модуль Q; тогда для отрицательного заряда получается неверный положительный потенциал. Проверка проста: знак результата должен совпадать со знаком Q.

В формуле работы могут переставить начальную и конечную точки. Часто это происходит из-за невнимательности к индексам, хотя A₁₂ = q(φ₁ − φ₂), а не q(φ₂ − φ₁). Подставьте потенциалы в том порядке, в каком заряд перемещается, и проверьте, что при обращении движения знак работы меняется.

Неверно считать, что работа зависит от траектории, или что поле совершает работу при движении вдоль эквипотенциальной поверхности. В первом случае забывают о потенциальном характере электростатического поля, во втором — о равенстве потенциалов. Для проверки найдите разность потенциалов конечной и начальной точек: при движении по такой поверхности она равна нулю, значит, A = 0.

Связь с другими темами

Для понимания потенциала нужны понятия потенциальной энергии и работы силы: работа поля связана с изменением энергии заряда. Также пригодятся знания об электрическом заряде и напряжённости поля, которая связана с силой, действующей на заряд. Потенциал и разность потенциалов станут основой для изучения напряжения и конденсаторов. Эти понятия помогают описывать энергию электрического поля и её изменение.

Что запомнить

• Потенциал — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля.
• Потенциал измеряется в вольтах.
• Потенциальная энергия заряда связана с потенциалом равенством Wп = qφ.
• Работа поля при перемещении заряда определяется разностью потенциалов: A₁₂ = q(φ₁ − φ₂).
• Потенциалы полей нескольких зарядов складываются алгебраически.
• Для точечного заряда φ = kQ/r при нулевом потенциале на бесконечности.
• На эквипотенциальной поверхности потенциал одинаков, а работа поля при перемещении заряда равна нулю.