§ 45. Электрическая емкость

Определения и обозначения

Электрическая ёмкость — физическая величина, которая характеризует способность проводника накапливать заряд. Для изолированного проводника её находят как отношение заряда к потенциалу: C = q/φ. Это позволяет сравнивать проводники: при одном и том же потенциале большей ёмкостью обладает тот, который накопит больший заряд.

Ёмкость конденсатора определяют как отношение модуля заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: C = q/U. Здесь C — ёмкость, q — модуль заряда, U — разность потенциалов. Формула показывает, какой заряд приходится на каждый вольт напряжения.

Конденсатор — система двух проводников, называемых обкладками, разделённых диэлектриком. Диэлектрик не даёт зарядам свободно переходить с одной обкладки на другую. При зарядке обкладки получают равные по модулю разноимённые заряды, поэтому между ними возникает электрическое поле.

Фарад — единица электрической ёмкости: 1 Ф = 1 Кл/В. Ёмкость в один фарад очень велика для большинства практических устройств, поэтому используют микрофарады: 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф, и пикофарады: 1 пФ = 10⁻¹² Ф. Эти единицы удобны для записи небольших ёмкостей.

Как это устроено

Если соединить обкладки конденсатора с источником, электроны переместятся с одной обкладки на другую. На одной обкладке возникнет избыток электронов и заряд −q, а на другой — их недостаток и заряд +q. Между обкладками появится электрическое поле, а вместе с ним — разность потенциалов U.

В формуле C = q/U берут заряд только одной обкладки и по модулю. Заряды двух обкладок равны по величине и противоположны по знаку, поэтому их алгебраическая сумма была бы равна нулю и не отражала бы способность конденсатора накапливать заряд. Модуль q показывает количество электричества, разделённого между обкладками.

Ёмкость зависит от формы и размеров проводников, расстояния между ними и свойств диэлектрика. Эти параметры задают распределение электрического поля и величину напряжения при данном заряде. Поэтому для данного конденсатора отношение q/U остаётся постоянным, хотя сами q и U могут изменяться.

Для плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных пластин, используют формулу C = ε₀εS/d. Здесь S — площадь пластин, d — расстояние между ними, ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды, а ε₀ — электрическая постоянная. Из формулы видно: увеличение S повышает ёмкость, увеличение d уменьшает её, а диэлектрик с ε > 1 увеличивает ёмкость.

Близкие противоположно заряженные обкладки создают сильное поле главным образом между собой. Поля от отдельных обкладок частично усиливаются в промежутке и слабее проявляются снаружи, поэтому заданный заряд создаёт меньшую разность потенциалов, чем у одиночного проводника. При том же U такой конденсатор способен накопить больший заряд, поскольку q = CU.

Электрическая ёмкость проводника и конденсатора

В таблице сначала определите, о каком объекте идёт речь: об отдельном проводнике или о конденсаторе. Затем выберите соответствующую разность потенциалов — потенциал относительно нулевого уровня или напряжение между обкладками. Последний столбец помогает проверить единицы ответа.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатору сообщили заряд 6 мкКл, напряжение между его обкладками стало 12 В. Найдём ёмкость, используя модуль заряда. Дано: q = 6 мкКл, U = 12 В.

1. Запишем определение ёмкости конденсатора: C = q/U.
2. Подставим значения: C = 6 мкКл/12 В = 0,5 мкКл/В.
3. Так как 1 мкКл/В = 1 мкФ, получаем C = 0,5 мкФ.

Ответ: ёмкость конденсатора равна 0,5 мкФ. Деление заряда на напряжение даёт единицу ёмкости. Заряд в этой формуле взят по модулю.

Задача 2. Ёмкость конденсатора равна 2 мкФ, напряжение между обкладками — 150 В. Требуется определить заряд одной обкладки. Из формулы C = q/U выразим q = CU.

1. Переведём ёмкость в СИ: C = 2 мкФ = 2 · 10⁻⁶ Ф.
2. Умножим ёмкость на напряжение: q = 2 · 10⁻⁶ Ф · 150 В = 300 · 10⁻⁶ Кл.
3. Запишем результат в удобных единицах: q = 300 мкКл.

Ответ: модуль заряда одной обкладки равен 300 мкКл. На второй обкладке находится заряд −300 мкКл, если на первой заряд +300 мкКл. Единицы согласованы, потому что Ф · В = Кл.

Задача 3. Площадь пластин воздушного плоского конденсатора равна 0,02 м², расстояние между ними — 1 мм. Нужно найти ёмкость при ε = 1. Используем C = ε₀εS/d, где ε₀ = 8,85 · 10⁻¹² Ф/м.

1. Переведём расстояние: d = 1 мм = 10⁻³ м.
2. Подставим данные: C = 8,85 · 10⁻¹² · 1 · 0,02/(10⁻³) Ф.
3. Выполним вычисление: C = 8,85 · 10⁻¹² · 20 Ф = 1,77 · 10⁻¹⁰ Ф = 177 пФ.

Ответ: ёмкость конденсатора приблизительно равна 177 пФ. Перевод миллиметров в метры принципиален, поскольку расстояние стоит в знаменателе. Полученный небольшой результат соответствует воздушному конденсатору с пластинами умеренной площади.

Типичные ошибки

Считать ёмкость равной заряду. Заряд и ёмкость — разные физические величины, а связывает их формула C = q/U. Ошибка возникает, когда забывают про напряжение; проверьте себя, выписав все данные и единицу Ф или Кл/В.

Использовать алгебраический заряд обкладки. Заряды обкладок противоположны, поэтому сложение их значений даст ноль. В определение входит модуль заряда одной обкладки, то есть положительное число.

Считать, что ёмкость растёт вместе с зарядом или напряжением. Для неизменного конденсатора при увеличении напряжения заряд возрастает пропорционально, а отношение q/U остаётся тем же. Проверьте, не изменились ли площадь, расстояние между обкладками или диэлектрик.

Не переводить единицы. Подстановка миллиметров вместо метров или микрокулонов вместо кулонов меняет ответ на несколько порядков. Перед вычислением приведите величины к СИ и отдельно проверьте степени десяти.

Связь с другими темами

Для понимания ёмкости нужны понятия электрического заряда, потенциала и разности потенциалов. Также следует знать единицы этих величин: кулон, вольт и основные приставки к ним. Без этого трудно выбрать формулу и проверить размерность результата.

Понятие ёмкости используется при изучении энергии электрического поля конденсатора. Оно понадобится и в теме соединений конденсаторов, где находят общую ёмкость последовательного или параллельного соединения.

Что запомнить

• Ёмкость характеризует способность проводника или конденсатора накапливать заряд.
• Для конденсатора C = q/U, где q — модуль заряда одной обкладки.
• Единица ёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Ёмкость данного конденсатора не определяется его зарядом или напряжением.
• Ёмкость зависит от геометрии проводников и свойств диэлектрика.
• Для плоского конденсатора C = ε₀εS/d.