§ 56. Энергия электростатического поля заряженного конденсатора

Определения и обозначения

Энергия заряженного конденсатора — энергия, запасённая при его зарядке; её обозначают W и измеряют в джоулях. Она показывает, какую работу может совершить конденсатор при разрядке. Знание этой величины позволяет сравнивать способность разных конденсаторов накапливать энергию.

Работа зарядки конденсатора — работа электрического поля или внешнего источника при переносе зарядов на обкладки. При зарядке эту работу совершает источник, а при разрядке запасённая энергия может перейти в работу электрического тока. Поэтому работа зарядки без учёта потерь равна энергии, накопленной конденсатором.

Энергия электростатического поля — энергия, связанная с полем между обкладками заряженного конденсатора. Поле возникает потому, что на обкладках находятся равные по модулю разноимённые заряды. При изменении заряда, напряжения или ёмкости изменяется и энергия этого поля.

Как это устроено

При зарядке конденсатора источник переносит электроны с одной обкладки на другую. Поэтому на обкладках накапливаются равные по модулю, но противоположные по знаку заряды: +q и −q. В начале процесса заряда ещё мало, поле слабое, а напряжение между обкладками близко к нулю.

По мере накопления заряда поле становится сильнее, поэтому напряжение между обкладками увеличивается. Следующую порцию заряда приходится переносить против всё более сильного электрического поля. Значит, на перенос одинаковых порций заряда в конце зарядки требуется больше работы, чем в начале.

Полную работу зарядки удобно находить по графику зависимости напряжения U от заряда q. Она равна площади под графиком, потому что маленькая работа переноса заряда Δq приблизительно равна UΔq. Для обычного конденсатора зависимость U от q линейная, поэтому график представляет собой прямую от начала координат, а площадь под ней — треугольник.

Основание этого треугольника равно q, а высота — конечному напряжению U. Поэтому W = qU/2. Делитель 2 появляется из-за того, что напряжение во время зарядки не постоянно: оно изменяется от нуля до U, а его среднее значение равно U/2.

Ёмкость связана с зарядом и напряжением соотношением q = CU. Подставляя эту связь в W = qU/2, можно получить две другие формы записи: W = q²/(2C) и W = CU²/2. Все три формулы описывают одну и ту же энергию, но удобны при разных исходных данных.

Энергия не исчезает после отключения источника, потому что она уже передана электростатическому полю. При разрядке поле ослабевает, а энергия переходит, например, во внутреннюю энергию проводников или в энергию других устройств. Если меняются геометрические размеры конденсатора, меняется его ёмкость, а вместе с ней при определённых условиях меняются напряжение и энергия.

Формулы энергии заряженного конденсатора

Сначала определите, какие две величины известны в условии, а затем выберите соответствующую строку. Если нужной пары нет, сначала найдите недостающую величину из q = CU. Ёмкость, заряд и напряжение перед вычислением переводят соответственно в фарады, кулоны и вольты.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор имеет ёмкость 4 мкФ и напряжение 100 В. Нужно найти запасённую энергию. Известны C и U, поэтому сразу подходит формула W = CU²/2.

1. Переведём ёмкость в СИ: 4 мкФ = 4·10⁻⁶ Ф.
2. Подставим данные: W = 4·10⁻⁶·100²/2 Дж.
3. Вычислим: W = 0,02 Дж.

Ответ: энергия конденсатора равна 0,02 Дж.

Задача 2

Заряд конденсатора равен 6 мкКл, а напряжение — 20 В. Требуется определить энергию и ёмкость. Для энергии известны q и U, а ёмкость найдём из определения электроёмкости.

1. Переведём заряд: q = 6·10⁻⁶ Кл.
2. Найдём энергию: W = qU/2 = 6·10⁻⁶·20/2 = 6·10⁻⁵ Дж.
3. Найдём ёмкость: C = q/U = 6·10⁻⁶/20 = 3·10⁻⁷ Ф.
4. Переведём результат: C = 0,3 мкФ.

Ответ: W = 6·10⁻⁵ Дж, C = 0,3 мкФ.

Задача 3

Конденсатор ёмкостью 5 мкФ зарядили до 120 В, отключили от источника и увеличили расстояние между обкладками. У плоского конденсатора при этом ёмкость уменьшается. Так как источник отключён, заряд не может уйти, поэтому используем формулу W = q²/(2C).

1. После отключения заряд сохраняется: q = const.
2. Ёмкость уменьшается из-за увеличения расстояния между обкладками: C₂ < C₁.
3. При постоянном заряде напряжение U = q/C увеличивается.
4. Энергия W = q²/(2C) также увеличивается, поскольку знаменатель уменьшается.

Ответ: заряд не изменится, ёмкость уменьшится, напряжение и энергия увеличатся.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Записывают W = qU вместо W = qU/2. Так происходит, если забывают, что напряжение при зарядке растёт от нуля до U, а не сразу принимает конечное значение. Проверьте себя: если зарядка начинается с нулевого напряжения, в выводе должен появиться множитель ½.

Ошибка 2. Считают, что при увеличении ёмкости энергия всегда увеличивается. Это верно только при постоянном напряжении, поскольку W = CU²/2. При постоянном заряде нужно использовать W = q²/(2C), и энергия, наоборот, уменьшается.

Ошибка 3. Не переводят микрофарады и микрокулоны в единицы СИ. Приставка микро означает 10⁻⁶, поэтому пропуск перевода изменяет ответ в миллион раз. Перед вычислением выпишите рядом с каждой величиной её единицу.

Ошибка 4. Смешивают энергию конденсатора с работой при разрядке. Без потерь работа разрядки равна запасённой энергии, а при наличии потерь только часть энергии превращается в полезную работу. Проверяйте, о каком процессе спрашивается в задаче.

Связь с другими темами

Для расчётов нужна электроёмкость конденсатора и соотношение q = CU. Они связывают заряд, напряжение и способность конденсатора накапливать заряд.

Вывод формулы опирается на понятия работы электрического поля, заряда и напряжения. Поэтому полезно понимать, как определяется работа силы и как напряжение связано с энергией переноса заряда.

Энергия конденсатора встречается при изучении электрических цепей и процессов разрядки. Эти знания также помогают понять, как электрическое поле накапливает энергию в различных устройствах.

Что запомнить

• Заряженный конденсатор обладает энергией.
• Энергия конденсатора равна работе его зарядки.
• При зарядке напряжение растёт от нуля до конечного значения.
• Основная формула: W = qU/2.
• Равносильные формулы: W = q²/(2C) и W = CU²/2.
• Энергию измеряют в джоулях.
• Выбор формулы зависит от того, какие величины известны и какие сохраняются.