§ 111. Зависимость сопротивления проводника от температуры

Определения и обозначения

Электрическое сопротивление проводника — величина, характеризующая противодействие проводника электрическому току; его обозначают R и измеряют в омах (Ом). Чем больше сопротивление, тем труднее току проходить через проводник при одинаковом напряжении. Зная R, можно применять закон Ома и рассчитывать параметры электрической цепи.

Температурный коэффициент сопротивления — величина α, показывающая относительное изменение сопротивления при изменении температуры на один градус. Его единица измерения — 1/°C, а знак сообщает, увеличивается сопротивление при нагревании или уменьшается. Коэффициент нужен, чтобы оценить температурное изменение сопротивления и выполнить расчёт.

Сопротивление при опорной температуре — значение R₀, с которым сравнивают сопротивление проводника при другой температуре. Опорную температуру обозначают T₀; например, для расчёта можно взять исходные 20 °C. Важно указать, при какой именно температуре задано R₀, иначе изменение сопротивления нельзя определить однозначно.

Термистор — полупроводниковый резистор, сопротивление которого существенно зависит от температуры. Такое изменение позволяет использовать его как чувствительный элемент датчика: электронная схема измеряет сопротивление и по нему определяет температуру. Поэтому термисторы применяют в устройствах контроля и автоматического регулирования нагрева.

Как это устроено

В металле есть свободные электроны, которые могут перемещаться по проводнику и создавать электрический ток. При нагревании ионы кристаллической решётки колеблются сильнее, чем при низкой температуре. Электроны чаще сталкиваются с колеблющимися ионами, из-за чего их направленное движение становится менее упорядоченным. Для поддержания тока требуется большее электрическое поле, что проявляется как увеличение сопротивления.

В небольшом диапазоне температур изменение сопротивления металла считают приблизительно линейным и рассчитывают по формуле R = R₀(1 + αΔT). Здесь R₀ — сопротивление при начальной, или опорной, температуре T₀, а ΔT = T − T₀ — изменение температуры. Коэффициент α показывает, насколько меняется сопротивление относительно R₀ при изменении температуры на один градус. Например, если проводник нагрели от 20 °C до 80 °C, в формулу подставляют ΔT = 60 °C, а не конечные 80 °C.

Знак α указывает направление изменения сопротивления при нагревании. У большинства металлов температурный коэффициент положителен: с повышением температуры сопротивление растёт, что согласуется с усилением рассеяния электронов на ионах. У ряда полупроводников коэффициент отрицателен, поэтому при нагревании сопротивление уменьшается. Коэффициент не следует считать универсальным: его значение зависит от материала и условий.

В полупроводнике нагревание не только усиливает колебания атомов, но и увеличивает число носителей заряда, доступных для переноса тока. Некоторые электроны получают достаточно энергии, чтобы начать свободно перемещаться, оставляя после себя подвижные положительные носители — дырки. Рост числа носителей обычно сильнее влияет на проводимость, чем учащение столкновений мешает движению каждого из них. Поэтому сопротивление полупроводника, как правило, снижается, а сильная температурная чувствительность используется в термисторах.

У некоторых материалов при охлаждении ниже определённой критической температуры возникает сверхпроводимость. В этом состоянии электрическое сопротивление практически исчезает, поэтому ток может протекать без обычных потерь энергии на нагрев проводника. Это не просто продолжение линейного изменения сопротивления: при переходе в сверхпроводящее состояние свойства материала меняются особым образом. Температура перехода зависит от материала и условий, поэтому сверхпроводимость наблюдается не у любого проводника.

Зависимость сопротивления различных материалов от температуры

Сначала определите материал и направление изменения температуры, затем сравните ожидаемое поведение сопротивления с таблицей. Указания «обычно» важны: реальные свойства зависят от состава материала и условий. Для расчётов по линейной формуле ориентируйтесь прежде всего на данные для металлов и ограниченный температурный диапазон.

Разбор задач

1. Сопротивление медного проводника при 20 °C равно 10 Ом. Найти его сопротивление при 80 °C, если α = 0,004 1/°C.

1. Определяем исходное сопротивление R₀ = 10 Ом и вычисляем изменение температуры: ΔT = 80 °C − 20 °C = 60 °C. Важно использовать разность температур, потому что R₀ задано при 20 °C.
2. Подставляем данные в формулу R = R₀(1 + αΔT). Получаем R = 10(1 + 0,004 · 60) = 10 · 1,24 = 12,4 Ом.
3. Проверяем смысл результата: медь — металл, α положителен, а проводник нагрели, поэтому сопротивление должно вырасти. Значение 12,4 Ом больше исходных 10 Ом.

Ответ: 12,4 Ом.

2. Сопротивление металлической спирали увеличилось с 12 до 15 Ом при нагревании на 100 °C. Определить температурный коэффициент сопротивления материала.

1. Начальное сопротивление R₀ = 12 Ом, конечное R = 15 Ом, изменение температуры ΔT = 100 °C. Находим прирост сопротивления: R − R₀ = 3 Ом.
2. Из формулы R = R₀(1 + αΔT) вычитаем R₀ и выражаем коэффициент: α = (R − R₀)/(R₀ΔT). Так учитывается относительное, а не только абсолютное увеличение сопротивления.
3. Подставляем числа: α = (15 − 12)/(12 · 100) = 3/1200 = 0,0025 1/°C. Проверка: положительный коэффициент соответствует увеличению сопротивления при нагревании.

Ответ: α = 0,0025 1/°C.

3. При 20 °C сопротивление датчика равно 100 Ом, α = 0,005 1/°C, а измеренное сопротивление составляет 140 Ом. Определить температуру.

1. Из формулы R = R₀(1 + αΔT) выражаем изменение температуры: ΔT = (R/R₀ − 1)/α. Подстановка R₀ = 100 Ом и R = 140 Ом даёт ΔT = (1,4 − 1)/0,005 = 80 °C.
2. Найдено изменение относительно опорной температуры, а не сама температура датчика. Поэтому прибавляем ΔT к 20 °C: T = T₀ + ΔT = 20 °C + 80 °C = 100 °C.
3. Проверяем расчёт: при нагревании на 80 °C сопротивление должно увеличиться на долю αΔT = 0,005 · 80 = 0,4, то есть на 40%. От 100 Ом это даёт 140 Ом, как и указано в условии.

Ответ: 100 °C.

Типичные ошибки

Подстановка конечной температуры вместо ΔT приводит к неверному результату: если проводник нагрели от 20 °C до 80 °C, изменение равно 60 °C. Часто так делают, потому что видят в условии температуру нагрева и забывают об опорной. Проверьте себя: вычтите начальную температуру из конечной и убедитесь, что эта разность стоит в формуле.

Можно перепутать R₀ и R: первое значение относится к опорной температуре, второе — к той, которую требуется найти или при которой проводник измерили. Ошибка возникает, когда символы воспринимают как просто два разных сопротивления без привязки к условиям. Перед вычислениями подпишите у каждого значения температуру; после расчёта проверьте, что подставили исходное сопротивление именно как R₀.

Ошибочно считать, что у любого материала нагревание увеличивает сопротивление. Так рассуждают по примеру металлических проводов и не учитывают отрицательный коэффициент полупроводника. Сверьте знак α и тип материала: если α отрицателен, при положительном ΔT формула даёт уменьшение R, что нужно проверить по физическому смыслу ответа.

Линейную формулу нельзя без проверки применять при сколь угодно больших изменениях температуры. Её используют как приближение в ограниченном диапазоне, а при сильном нагревании свойства материала могут описываться иначе. Проверьте, подходит ли диапазон для данной модели и материала; если он неизвестен или велик, не выдавайте линейный расчёт за точное значение.

Связь с другими темами

Для изучения температурной зависимости нужны закон Ома, понятие сопротивления и его единица измерения — ом. Также следует знать зависимость R = ρl/S: она связывает сопротивление с удельным сопротивлением материала, длиной проводника и площадью его поперечного сечения. Температура изменяет свойства материала, а значит, влияет на сопротивление даже тогда, когда размеры проводника остаются прежними.

Эта тема объясняет работу термометров сопротивления, термисторов и автоматических устройств контроля температуры: схема может определять нагрев по изменению сопротивления чувствительного элемента. Она также помогает учитывать нагревание проводов в электрических цепях и понять сверхпроводимость. Температурная зависимость связывает электрические свойства вещества с его внутренним строением и движением зарядов.

Что запомнить

• Сопротивление проводника зависит от его материала, размеров и температуры.
• Для металлов при нагревании сопротивление обычно увеличивается.
• Для полупроводников при нагревании сопротивление обычно уменьшается.
• В ограниченном диапазоне температур для металлов применима формула R = R₀(1 + αΔT).
• Температурный коэффициент α может быть положительным или отрицательным.
• Термисторы используют сильную зависимость сопротивления полупроводников от температуры.
• При сверхпроводимости сопротивление материала практически равно нулю.