"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Равномерное движение по окружности — движение, при котором точка проходит равные дуги за равные промежутки времени. Модуль её скорости остаётся постоянным, но направление непрерывно меняется, поэтому движение является ускоренным. Чтобы описывать его, используют период, частоту, угловую и линейную скорости, а также центростремительное ускорение. Эти величины помогают решать задачи о вращении колёс, движении автомобилей на поворотах и спутников по орбитам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Период обращения T — время, за которое точка совершает один полный оборот по окружности. Его измеряют в секундах (с). Период показывает, сколько длится один цикл движения, и связан с частотой обратной зависимостью.
Частота обращения ν — число полных оборотов за единицу времени. В системе СИ её измеряют в герцах (Гц), причём 1 Гц = 1 с⁻¹. Если за один оборот проходит время T, то за секунду совершается ν = 1/T оборотов; частота помогает сравнивать быстроту вращения.
Угловая скорость ω — отношение угла поворота радиус-вектора ко времени, за которое этот поворот произошёл. Угол обычно выражают в радианах: полный оборот составляет 2π радиан, поэтому при одном обороте за период ω = 2π/T. Единица угловой скорости — рад/с; она описывает, насколько быстро поворачивается радиус-вектор.
Центростремительное ускорение aц — ускорение при движении по окружности, направленное к её центру. Его модуль равен aц = v²/R, где v — линейная скорость, а R — радиус окружности. Эта величина показывает, насколько быстро меняется направление скорости.
При равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется: точка проходит одинаковые дуги за одинаковое время. Но скорость — векторная величина, и для её полного задания нужны не только модуль, но и направление. По мере движения направление вектора меняется, значит меняется и сама скорость. Поэтому движение ускоренное, хотя точка не разгоняется и не замедляется по модулю.
Равномерность можно описать через поворот радиус-вектора, проведённого из центра окружности к движущейся точке. За равные промежутки времени он поворачивается на равные углы, измеренные в радианах. Отношение такого углового перемещения ко времени постоянно и называется угловой скоростью ω. Чем быстрее меняется угол, тем больше угловая скорость.
За один полный оборот радиус-вектор поворачивается на 2π радиан, а затраченное время равно периоду T. Поэтому ω = 2π/T; поскольку ν = 1/T, получаем ω = 2πν. За это же время точка проходит длину окружности 2πR, откуда линейная скорость v = 2πR/T. Сопоставив формулы, получаем v = ωR: линейная скорость тем больше, чем больше радиус при той же угловой скорости.
Мгновенную скорость можно представить как направление, в котором точка продолжила бы двигаться, если бы перестала следовать по окружности. На малом участке окружности траектория почти совпадает с касательной, поэтому скорость направлена по касательной в данной точке. Радиус проведён к этой точке из центра, а касательная перпендикулярна радиусу. Следовательно, скорость и радиус взаимно перпендикулярны.
За короткое время вектор скорости поворачивается вместе с движущейся точкой. Изменение этого вектора направлено внутрь окружности, поэтому ускорение тоже направлено к центру и называется центростремительным. Его модуль равен aц = v²/R: при большей скорости направление меняется быстрее, а при большем радиусе — медленнее. Подставляя v = ωR, получаем aц = ω²R.
На траектории точка движется по окружности постоянного радиуса, а равным промежуткам времени соответствуют равные дуги. При этом направление скорости в каждой точке различается.
| Величина | Обозначение | Формула | Единица СИ | Направление или смысл |
|---|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | R = const | м | От центра до точки траектории |
| Период обращения | T | T = 1/ν = 2π/ω | с | Время одного оборота |
| Частота обращения | ν | ν = 1/T | Гц (с⁻¹) | Число оборотов за секунду |
| Угловая скорость | ω | ω = 2π/T = 2πν | рад/с | Изменение угла за единицу времени |
| Линейная скорость | v | v = ωR | м/с | По касательной к окружности |
| Центростремительное ускорение | aц | aц = v²/R = ω²R | м/с² | К центру окружности |
Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти, затем выберите строку с нужной формулой. Если данных недостаточно для прямой подстановки, используйте связь между периодом, частотой и угловой скоростью. Направление скорости и ускорения удобно проверять отдельно по последнему столбцу.
Задача 1. Точка совершает 20 полных оборотов за 10 с. Найдём частоту и период обращения. Сначала удобно определить число оборотов за одну секунду, а затем взять обратную величину.
Задача 2. Автомобиль движется по окружности радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Требуется найти период обращения и угловую скорость. За один оборот автомобиль проходит длину окружности, поэтому сначала свяжем эту длину со скоростью и временем.
Задача 3. Точка движется по окружности радиусом 0,4 м с угловой скоростью 5 рад/с. Нужно найти линейную скорость и центростремительное ускорение. Здесь обе искомые величины выражаются непосредственно через ω и R, поэтому промежуточно искать период не требуется.
Можно решить, что движение равномерное и прямолинейное, раз модуль скорости не меняется. Так происходит, если забыть, что скорость — вектор и у неё есть направление. Проверяйте не только модуль, но и направление вектора: на окружности оно меняется, следовательно, есть ускорение.
Иногда скорость направляют к центру окружности, поскольку туда направлена сила, удерживающая тело на траектории. Но скорость в каждый момент идёт по касательной, а к центру направлено центростремительное ускорение. Проверка простая: скорость перпендикулярна радиусу, а ускорение направлено вдоль радиуса к центру.
Период и частоту путают, записывая ν = T. Ошибка возникает из-за того, что обе величины описывают повторение оборотов, но одна измеряется в секундах, а другая — в оборотах за секунду. Используйте ν = 1/T и проверьте единицы: для частоты должны получиться с⁻¹ или Гц.
В формуле ускорения иногда теряют квадрат скорости и пишут aц = v/R. Такой результат имеет неверную размерность: (м/с)/м = 1/с, тогда как ускорение измеряется в м/с². Правильная формула aц = v²/R; квадрат также объясняет, почему удвоение скорости увеличивает ускорение в четыре раза.
Для изучения движения по окружности нужны знания о длине окружности, радианной мере угла, а также о векторах скорости и ускорения. Пригодятся и формулы равноускоренного движения, хотя здесь модуль скорости постоянен: меняется её направление. Эта тема продолжает изучение криволинейного движения, в котором направление скорости изменяется вместе с траекторией. Позже те же идеи используют при изучении всемирного тяготения, орбит спутников, вращательного движения и движения тел на поворотах.
Почему движение называют равномерным, если тело всё время ускоряется?
Равномерность здесь означает, что за равные промежутки времени тело проходит равные дуги, то есть модуль скорости постоянен. Ускорение возникает потому, что направление вектора скорости непрерывно изменяется.
Куда направлена скорость точки, движущейся по окружности?
Мгновенная скорость направлена по касательной к окружности в точке, где находится тело. Она перпендикулярна радиусу, проведённому к этой точке.
Чем период отличается от частоты обращения?
Период T — время одного полного оборота, измеряется в секундах. Частота ν показывает, сколько оборотов совершается за секунду, и измеряется в герцах; ν = 1/T.
Почему центростремительное ускорение направлено к центру окружности?
При движении по окружности направление скорости меняется так, что её изменение направлено внутрь траектории. Поэтому ускорение, связанное с изменением скорости, направлено к центру.
Как изменится центростремительное ускорение при увеличении скорости в два раза?
При неизменном радиусе ускорение увеличится в четыре раза. Это следует из формулы aц = v²/R: скорость входит в неё во второй степени.
§ 17. Равномерное движение точки по окружности
