"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси его точки движутся по окружностям, но не обязательно с одинаковой линейной скоростью. Чтобы описать движение всего тела, используют угловую скорость, а движение отдельной точки — линейную. Эти величины связаны формулой v = ωr: чем дальше точка от оси, тем быстрее она движется. Период и частота помогают выразить угловую скорость через число оборотов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вращательное движение — движение твёрдого тела, при котором все его точки движутся по окружностям вокруг общей неподвижной оси. Ось может проходить через тело или касаться его, но во время движения остаётся неподвижной. Это определение позволяет описывать вращение колеса, диска или ротора как движение одного тела, а не множества независимых точек.
Угловая скорость показывает, какой угол поворота тело совершает за единицу времени; её обозначают ω. Если тело за время Δt поворачивается на угол Δφ, то ω = Δφ/Δt. Эта величина нужна, чтобы сравнивать скорость поворота тел независимо от их размеров.
Линейная скорость — скорость движения отдельной точки тела по окружности; её обозначают v. В каждый момент она направлена по касательной к траектории, то есть показывает, куда движется точка именно сейчас. Линейная скорость нужна, когда важно узнать, какой путь за время проходит выбранная точка, например край колеса.
Период обращения T — время одного полного оборота, а частота вращения ν — число оборотов за единицу времени. Период измеряют в секундах, частоту — в герцах, или с⁻¹. Эти характеристики позволяют описать вращение через обороты и связать его с угловой скоростью.
Представим две точки на одном жёстком диске: одну ближе к оси, другую дальше. Поскольку расстояние между точками и положение диска относительно оси не меняются, поворот тела переносит обе точки на одинаковый угол. Поэтому за одинаковое время все точки получают один и тот же угол поворота и имеют одинаковую угловую скорость, хотя длины их траекторий различаются.
Угловую скорость определяют как отношение изменения угла поворота к времени: ω = Δφ/Δt. Например, если за 2 с тело повернулось на 6 рад, его угловая скорость равна 3 рад/с. При равномерном вращении за равные промежутки времени тело поворачивается на равные углы, поэтому это отношение остаётся постоянным.
Линейные скорости точек одного тела могут быть разными, потому что точки движутся по окружностям разных радиусов. За один и тот же поворот точка на большем радиусе проходит более длинную дугу: длина дуги равна произведению радиуса на угол поворота, s = rφ. Значит, за одинаковое время дальняя от оси точка проходит больший путь, а её линейная скорость больше.
Чтобы получить связь скоростей, используем путь s = rφ и разделим обе части на время: s/Δt = r·(Δφ/Δt). Отношение пути ко времени — линейная скорость, а изменение угла ко времени — угловая скорость, поэтому v = ωr. Здесь r — кратчайшее расстояние от точки до оси; при увеличении r в несколько раз линейная скорость возрастает во столько же раз, если ω не меняется.
За один полный оборот угол поворота равен 2π радиан, а время этого оборота — период T. Поэтому ω = 2π/T; поскольку частота ν = 1/T, получаем также ω = 2πν. Направление вектора угловой скорости определяют правилом правой руки: если согнутые пальцы правой руки направить по вращению, вытянутый большой палец покажет направление вектора вдоль оси.
| Величина | Обозначение | Физический смысл | Формула | Единица СИ | Зависимость от расстояния до оси |
|---|---|---|---|---|---|
| Угол поворота | φ | На сколько повернулось тело | φ = Δφ | рад | Не зависит |
| Угловая скорость | ω | Угол поворота за единицу времени | ω = Δφ/Δt | рад/с | Не зависит |
| Период обращения | T | Время одного оборота | T = 1/ν | с | Не зависит |
| Частота вращения | ν | Число оборотов за единицу времени | ν = 1/T | Гц (с⁻¹) | Не зависит |
| Линейная скорость точки | v | Быстрота движения точки по окружности | v = ωr | м/с | Пропорциональна r |
| Связь линейной и угловой скоростей | v, ω | Переход от скорости поворота к скорости точки | v = ωr | м/с и рад/с | Задаётся радиусом r |
В таблице сравниваются характеристики всего вращения и движения отдельной точки. Для расчёта сначала определите, какая величина известна и какая требуется, затем выберите формулу и проверьте единицы. Если нужна линейная скорость, обязательно укажите расстояние точки до оси.
Условие. Колесо вращается с угловой скоростью 4 рад/с, его радиус равен 0,5 м. Найдём линейную скорость точки на ободе. Поскольку точка расположена на краю, её расстояние до оси совпадает с радиусом колеса.
Ответ: линейная скорость точки обода равна 2 м/с. Радиан в этой формуле не меняет численное значение, поэтому единица скорости получается м/с.
Условие. Точка на краю диска совершает 120 оборотов за 1 минуту. Требуется определить период, частоту и угловую скорость. Сначала переведём минуту в секунды, чтобы частота была выражена в единицах СИ.
Ответ: T = 0,5 с, ν = 2 Гц, ω = 4π рад/с (примерно 12,6 рад/с). Найденные период и частота взаимно обратны, а угловая скорость соответствует двум оборотам за секунду.
Условие. Диск вращается с постоянной угловой скоростью. Сравним точки на расстояниях 0,2 м и 0,8 м от оси и выясним, во сколько раз различаются их линейные скорости. Обозначим скорости точек v₁ и v₂, а расстояния — r₁ и r₂.
Ответ: точка на расстоянии 0,8 м движется в 4 раза быстрее точки на расстоянии 0,2 м. Для такого сравнения численное значение ω знать не нужно: достаточно отношений радиусов.
Считать линейные скорости всех точек одинаковыми. Ошибка возникает из-за того, что всё жёсткое тело поворачивается как единое целое, и эту одинаковость угловой скорости принимают за одинаковость любой скорости. Но линейная скорость зависит от радиуса по формуле v = ωr. Проверьте вывод сравнением точек на оси и на ободе: на оси r = 0, а значит, линейная скорость равна нулю.
Путать угловую и линейную скорости. Угловая скорость описывает изменение угла, а линейная — движение точки по траектории. Их обозначения и единицы различаются: ω выражают в рад/с, v — в м/с. Перед подстановкой проверьте, соответствует ли формула искомой величине и есть ли в ответе нужная единица.
Подставлять диаметр вместо радиуса. Так делают, если в условии дан размер всего колеса, а расстояние от оси до края не выделено отдельно. В формуле v = ωr требуется именно расстояние до оси, то есть радиус; он вдвое меньше диаметра. Чтобы проверить расчёт, запишите сначала r = d/2 и только потом подставляйте значение.
Не переводить обороты и время в согласованные единицы. Если число оборотов дано за минуту, а частота нужна в герцах, деление на число секунд обязательно. Иначе период получится в минутах, а угловая скорость будет рассчитана в несогласованных единицах. Перед вычислениями переведите минуты в секунды и убедитесь, что ν выражена в с⁻¹, а T — в секундах.
Для понимания вращения нужны знания о равномерном движении по окружности, длине окружности, периоде, частоте и радианной мере угла. Формулы угловой и линейной скоростей пригодятся при изучении центростремительного ускорения и динамики вращательного движения. Они помогают сравнивать движение колёс, шкивов и роторов, а также описывать вращение Земли и искусственных спутников.
Почему точки одного диска имеют разные линейные скорости, но одинаковую угловую скорость?
За одно и то же время диск поворачивается на один и тот же угол, поэтому угловая скорость у всех его точек одинакова. Точки дальше от оси проходят за этот поворот более длинные дуги, поэтому их линейная скорость больше.
Можно ли считать радиан единицей измерения угла и почему он не появляется отдельно в размерности угловой скорости?
Да, радиан используют как единицу измерения плоского угла. Он равен отношению длины дуги к радиусу, поэтому физически является безразмерной величиной; угловую скорость обычно записывают в рад/с, а в размерности остаётся с⁻¹.
Куда направлена линейная скорость точки на вращающемся колесе?
Она направлена по касательной к окружности, по которой движется точка. В каждый момент скорость перпендикулярна радиусу, проведённому от оси к этой точке.
Как связаны период, частота и угловая скорость?
Период T — время одного оборота, а частота ν — число оборотов за секунду; они связаны равенством ν = 1/T. За один оборот тело поворачивается на 2π радиан, поэтому ω = 2π/T = 2πν.
Что произойдёт с линейной скоростью точки, если её расстояние до оси увеличить в два раза?
При неизменной угловой скорости линейная скорость удвоится. Это следует из формулы v = ωr: скорость прямо пропорциональна расстоянию до оси.
§ 19. Вращательное движение твердого тела. Угловая и линейная скорости вращения
