§ 28. Инерциальные системы отсчета и принцип относительности в механике

Определения и обозначения

Инерциальная система отсчёта — система, в которой тело при отсутствии действующих на него сил покоится или движется равномерно и прямолинейно. Это определение помогает выбрать систему, где первый закон Ньютона можно применять без поправок на ускорение наблюдателя.

Неинерциальная система отсчёта — система, движущаяся с ускорением относительно инерциальной; в ней закон инерции в обычной форме не выполняется. Понятие нужно, чтобы отличать силы, вызванные взаимодействием тел, от эффектов ускоренного движения самой системы.

Принцип относительности в механике утверждает, что механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Он позволяет понять, почему равномерное движение системы нельзя обнаружить только механическими опытами внутри неё.

Преобразования Галилея — соотношения между координатами и временем одного события в двух системах, равномерно движущихся друг относительно друга. Они переводят описание события из одной системы в другую и показывают, какие величины меняются при смене наблюдателя.

Как это устроено

Первый закон Ньютона не просто описывает движение свободного тела, но и позволяет определить, в каких системах отсчёта закон механики работает в привычном виде. Если тело не испытывает результирующего воздействия других тел, его скорость в такой системе не меняется. Поэтому по поведению свободного тела можно проверять, подходит ли выбранная система для применения законов Ньютона. В реальных опытах полное отсутствие сил недостижимо, поэтому рассматривают тела, на которые их влияние очень мало.

Инерциальных систем не одна, а бесконечно много, потому что равномерное прямолинейное движение не создаёт относительного ускорения. Если свободное тело сохраняет скорость в системе K, то в системе, которая движется относительно K с постоянной скоростью, оно тоже будет двигаться с постоянной скоростью. Важно, что речь идёт именно о равномерном движении, а не о любой траектории системы. Поэтому выбор инерциальной системы не единственный.

Пусть оси x и x′ направлены одинаково, а система K′ движется вдоль них со скоростью v. Если начало K′ в момент t = 0 совпадает с началом K, то к моменту t оно сместится на vt, поэтому координата события во второй системе равна x′ = x − vt. В классической механике время для наблюдателей одинаково: t′ = t. Эти соотношения и называют преобразованиями Галилея; здесь рассматривают движение вдоль одной общей оси.

Из преобразований координат следует, что скорости в системах различаются: скорость тела относительно K′ равна его скорости относительно K минус скорость K′, то есть v′тела = vтела − v. Но v между системами постоянно, поэтому при вычислении ускорения его изменение равно нулю и ускорение тела сохраняется. Законы механики связывают движение именно с ускорением и взаимодействиями тел, поэтому их форма при таком переходе не меняется. Так объясняется равноправие инерциальных систем.

Если все механические опыты проводят внутри равномерно движущейся системы, их результаты не показывают, движется она или покоится относительно другой инерциальной системы. Причина в том, что движение тел и взаимодействия описываются одинаковыми законами, а общий перенос системы не меняет результаты опыта. При этом скорость относительно внешних тел измерить можно, если наблюдать за ними. Принцип относительности запрещает не измерение скорости вообще, а определение равномерного движения только по внутренним механическим явлениям.

Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта

Сравнивайте систему с выбранной инерциальной системой: главное — наличие ускорения, а не то, движется ли она вообще. В последней строке таблицы речь о силах инерции — дополнительных силах, которые вводят в расчётах из неинерциальной системы, чтобы описать наблюдаемое движение.

Сначала определите движение системы относительно принятой инерциальной, затем проверьте поведение свободного тела. Силы инерции не являются взаимодействием с другим телом: это способ учитывать ускорение системы отсчёта в расчётах.

Разбор задач

Шар в равномерно движущемся поезде

Поезд движется равномерно и прямолинейно, шар отпускают, и он падает вертикально вниз. Нужно решить, можно ли считать вагон инерциальной системой. В условии важно, что поезд не разгоняется и не поворачивает.

1. Сравним вагон с системой отсчёта, связанной с Землёй, которую в этой задаче считаем инерциальной. Равномерное прямолинейное движение вагона означает, что его ускорение относительно Земли равно нулю.

2. До отпускания шар движется вместе с поездом и имеет его горизонтальную скорость. После отпускания эта скорость сохраняется, потому что горизонтального воздействия, которое заметно меняло бы её, нет.

3. Шар падает вниз под действием тяжести, но одновременно продолжает двигаться горизонтально вместе с вагоном. В идеальных условиях он окажется под точкой отпускания, поэтому вагон можно считать инерциальным.

Ответ: да, в рамках идеализации вагон инерциальный, поскольку движется без ускорения относительно Земли. В реальности это приближение, так как поезд может испытывать небольшие ускорения, а на шар могут действовать сопротивление воздуха и другие воздействия.

Координата и время события

Событие зафиксировано в системе K координатой x и временем t. Система K′ движется вдоль оси x со скоростью v, а начала систем совпали при t = 0. Найдём координату и время того же события для наблюдателя в K′.

1. За время t начало системы K′ смещается относительно K на расстояние vt. Это следует из равномерного движения системы с постоянной скоростью v.

2. Чтобы получить координату события относительно движущегося начала, из координаты x вычитаем его смещение. Поэтому x′ = x − vt.

3. В преобразованиях Галилея время считается одинаковым для обеих систем. Следовательно, t′ = t; для этой задачи дополнительных данных вычислять не нужно.

Ответ: координата события во второй системе x′ = x − vt, время t′ = t. Если K′ движется в противоположном направлении, знак скорости v в выбранной оси будет отрицательным.

Ускорение в системах K и K′

В системе K тело движется вдоль оси x с ускорением a, а K′ равномерно и прямолинейно движется относительно K со скоростью v. Требуется найти ускорение тела в K′ и сравнить запись законов механики. Ускорение системы K′ равно нулю.

1. При переходе между системами скорость тела меняется на постоянную величину, связанную со скоростью v системы K′. Можно записать u′ = u − v, где u — скорость тела в K.

2. Поскольку v постоянно, за одинаковый промежуток времени оно не изменяется. Значит, изменение скорости тела в обеих системах одинаково, а ускорение a′ = a.

3. Обе системы инерциальны, поэтому уравнения механики в них имеют одинаковый вид. Численные координаты и скорости тела могут отличаться, но законы, связывающие силы и ускорение, остаются теми же.

Ответ: ускорение в K′ равно a. Законы механики записываются одинаково в обеих системах — это проявление принципа относительности в механике.

Типичные ошибки

• Считать инерциальной любую систему, движущуюся равномерно относительно Земли. Так рассуждают, потому что Землю часто принимают за неподвижный ориентир, но она сама лишь приближённо инерциальна. Проверьте, относительно какой системы оценивается движение и насколько допустимо считать её инерциальной.

• Путать равномерное движение системы с движением с ускорением. Сам факт движения не делает систему неинерциальной: важно, меняется ли её скорость или направление. Проверьте ускорение относительно выбранной инерциальной системы.

• Полагать, что при преобразованиях Галилея не меняются координаты и скорости. Они зависят от положения и движения наблюдателя, тогда как ускорение остаётся одинаковым. Чтобы проверить себя, примените x′ = x − vt и сравните скорости с учётом движения системы.

• Думать, что принцип относительности запрещает определить скорость относительно других тел. Он касается только механических опытов внутри системы и не мешает наблюдать внешние ориентиры. Проверьте, использует ли измерение сведения о телах за пределами системы.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны понятия системы отсчёта, скорости и ускорения, а также первый закон Ньютона: по нему распознают инерциальную систему. Далее идеи о неинерциальных системах пригодятся при изучении второго закона Ньютона и сил инерции. Относительность движения также станет основой для сопоставления классической механики с теорией относительности, где представления о пространстве и времени рассматриваются иначе.

Что запомнить

• Первый закон Ньютона выполняется в инерциальных системах отсчёта.
• Система, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной, также инерциальна.
• В преобразованиях Галилея время одинаково для обеих систем: t′ = t.
• Скорость зависит от системы отсчёта.
• Ускорение тела одинаково во всех инерциальных системах.
• Законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах.