§ 4. Положение точки в пространстве

Определения и обозначения

Система координат — это выбранные начало отсчёта и оси, с помощью которых указывают положение точки. Направления осей задают, в какую сторону значения считаются положительными, а начало — откуда ведётся отсчёт. Без этих условий одних чисел недостаточно: непонятно, относительно чего они заданы. Система координат позволяет описывать положение точки однозначно.

Декартова система координат в пространстве состоит из трёх взаимно перпендикулярных осей x, y и z с общим началом O. Каждая ось задаёт одно из независимых направлений в пространстве. Прямой угол между осями помогает разделить положение точки на составляющие, не смешивая их. Поэтому такую систему удобно применять для измерений и расчётов.

Координаты точки — три числа x, y, z, которые задают её положение относительно выбранных осей. Первое число относится к оси x, второе — к y, третье — к z. Вместе они указывают, насколько далеко точка расположена в каждом из трёх направлений и по какую сторону от начала отсчёта. Координаты нужны, чтобы записывать положение точки и восстанавливать его по записи.

Радиус-вектор — вектор, направленный из начала координат к заданной точке. Его начало совпадает с O, а конец — с точкой, положение которой описывают. Проекции радиус-вектора на оси равны координатам точки. Так положение можно задавать и тремя числами, и одним вектором.

Как это устроено

В плоскости для указания положения достаточно двух координат, но они не сообщают, где точка находится относительно этой плоскости. Например, точка над листом и точка под ним могут иметь одинаковые координаты на листе, хотя в пространстве это разные места. Нужна ещё одна независимая величина, показывающая смещение в третьем направлении. Поэтому пространственное положение задают тремя координатами.

Чтобы найти координаты точки, мысленно опускают из неё перпендикуляры на оси или определяют её проекции на направления осей. Координата показывает положение соответствующей проекции относительно начала и выбранного положительного направления. Если известны все три значения, точку можно построить: отложить каждое из них вдоль своей оси, а затем провести линии, параллельные осям. Пересечение таких направлений указывает искомую точку.

Радиус-вектор соединяет начало координат с точкой, поэтому содержит информацию о её положении. Его можно разложить на составляющие вдоль осей: каждая составляющая показывает, насколько вектор направлен по соответствующей оси. Эти составляющие называют проекциями вектора. В декартовой системе проекции радиус-вектора равны координатам точки: x, y и z.

Координаты и радиус-вектор описывают положение относительно выбранной системы, а не являются неизменными свойствами точки. Если перенести начало координат или повернуть оси, численные значения координат изменятся, а радиус-вектор в новом описании тоже будет задан иначе. Однако сама точка не перемещается из-за смены способа описания. Чтобы сравнивать координаты, нужно убедиться, что они заданы в одной и той же системе.

Если начало координат, направления осей и масштаб заранее выбраны, положение точки задают тремя числами. Масштаб показывает, какой длине соответствует единица на каждой оси, а знаки координат указывают сторону от начала. Например, отрицательное значение означает, что проекция расположена против положительного направления оси. При построении важно соблюдать и масштаб, и направление: иначе полученная точка будет иметь другие координаты.

Способы задать положение точки в пространстве

Таблица показывает два способа описать одно и то же положение: числами или вектором. Если известны координаты, отметь их значения на соответствующих осях и построй точку; если дан радиус-вектор, используй его проекции. В обоих случаях сначала нужно знать, какая система координат выбрана.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольной системе координат точка имеет координаты (2; −1; 3). Указать, что означают эти числа. Чтобы истолковать запись, нужно соотнести числа с осями и проверить знаки. Координаты рассматриваются по порядку: x, затем y, затем z.

1. Первая координата равна 2, значит, проекция точки на ось x расположена на две единицы в положительном направлении от начала. Это значение задаёт смещение по первой оси. Его знак показывает, что проекция лежит со стороны положительного направления.
2. Вторая координата равна −1. Проекция на ось y находится на одну единицу от начала, но в сторону, противоположную положительному направлению y. Минус меняет сторону, а не означает отрицательную длину.
3. Третья координата равна 3, поэтому проекция по оси z смещена на три единицы в положительном направлении. Все три значения вместе задают положение точки. Каждое число относится только к своей оси.

Ответ: проекции точки на оси x, y, z равны соответственно 2, −1 и 3. Отрицательной является только координата y, поэтому точка расположена против положительного направления этой оси. Для полного описания важны все три числа.

Задача 2. Даны начало координат O и точка A с координатами (−2; 4; 1). Нужно описать построение точки и радиус-вектора OA. Сначала строят положение по координатам, а затем соединяют его с началом координат. Так можно увидеть, как числовое описание связано с векторным.

1. Отметь на оси x значение −2: от O нужно пройти две единицы против положительного направления. Это задаёт положение проекции точки по оси x. Минус определяет сторону, а модуль числа — величину смещения.
2. Для координаты y = 4 отложи четыре единицы в положительном направлении оси y, а для z = 1 — одну единицу в положительном направлении оси z. Через полученные отметки проведи линии, параллельные другим осям. Их совместное положение позволяет найти точку A.
3. Проведи стрелку из O в A и обозначь её OA. Начало стрелки находится в начале координат, конец — в точке A. Проекции этого вектора на оси равны −2, 4 и 1.

Ответ: точку строят по трём заданным смещениям с учётом их знаков, затем соединяют её с O. Радиус-вектор OA направлен от O к A. Его проекции совпадают с координатами точки: (−2; 4; 1).

Задача 3. Радиус-вектор точки имеет проекции 3, −2 и 5 на оси x, y и z. Нужно найти координаты точки и объяснить, что произойдёт при выборе другой системы координат. Здесь проекции уже даны в порядке осей, поэтому их можно непосредственно соотнести с координатами. Затем следует отделить изменение описания от изменения положения точки.

1. Проекция радиус-вектора на ось x равна 3, значит, x = 3. Проекция на y равна −2, следовательно, y = −2, а проекция на z равна 5, поэтому z = 5. По определению координаты равны проекциям радиус-вектора.
2. Запиши полученные значения в том же порядке, что и оси: (3; −2; 5). Знак минус у второй координаты указывает на направление против положительного направления y. Значения 3 и 5 соответствуют положительным направлениям x и z.
3. При смене начала или направлений осей проекции будут отсчитываться по-новому. Поэтому новые координаты могут отличаться от (3; −2; 5). Сама точка при этом не перемещается, меняется только система её описания.

Ответ: координаты точки в исходной системе — (3; −2; 5). В другой системе координат их значения могут измениться в зависимости от выбора начала и осей. Геометрическое положение точки остаётся прежним.

Типичные ошибки

Задают положение только двумя числами. Так можно описать точку на плоскости, но в пространстве останется неизвестным смещение в третьем направлении. Ошибку допускают, перенося привычный плоский чертёж на трёхмерное пространство. Проверь себя: для каждой оси x, y и z должно быть указано своё значение.

Путают координату с расстоянием до начала координат. Координата может быть отрицательной и сообщает не только величину, но и сторону относительно оси. Расстояние же не бывает отрицательным и измеряется от точки до начала. Для проверки посмотри на знак: минус указывает направление, а не «расстояние меньше нуля».

Считают радиус-вектор самой точкой. Точка — место в пространстве, а радиус-вектор — направленный отрезок от начала координат до этого места. Их связывает то, что конец вектора совпадает с точкой, но это разные объекты. Проверь себя: у вектора есть начало, конец и направление, тогда как точка не имеет длины и направления.

Сравнивают координаты из разных систем без поправки на их выбор. Числа зависят от положения начала и направлений осей, поэтому одинаковые значения не гарантируют совпадения точек, а разные — не доказывают, что точки различны. Такая ошибка возникает, когда забывают указать систему координат. Перед сравнением выясни, совпадают ли начало и направления осей в обеих записях.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны понятия точки, вектора, проекции вектора на ось и системы отсчёта. Система координат помогает описывать положение тела, а затем — его движение и траекторию, то есть линию, вдоль которой оно перемещается. Радиус-вектор даёт векторное описание положения, поэтому его представление через координаты пригодится при изучении перемещения. Та же связь используется при записи законов движения.

Что запомнить

• Для однозначного задания точки в пространстве нужны три координаты.
• Декартовы оси взаимно перпендикулярны и имеют общее начало.
• Координаты точки задаются относительно выбранной системы координат.
• Радиус-вектор направлен из начала координат к точке.
• Координаты точки равны проекциям её радиус-вектора на оси.
• При смене системы координат координаты точки могут измениться.