§ 43. Работа силы

Определения и обозначения

Механическая работа — физическая величина, характеризующая действие силы при перемещении тела. Для её совершения необходимы и сила, и перемещение: без силы нечему действовать на тело, а без перемещения действие силы не приводит к механической работе. Это понятие позволяет оценивать не только величину силы, но и результат её действия на пути движения.

Работа силы при постоянной силе и прямолинейном перемещении равна произведению модуля силы F, модуля перемещения s и косинуса угла α между ними: A = Fs cos α. Буквой A обозначают работу, а cos α показывает, какая часть силы направлена вдоль перемещения. Такая запись учитывает и величину работы, и её знак.

Угол между силой и перемещением — это угол α между векторами силы и перемещения. Его отсчитывают от направления перемещения к направлению силы, а не обязательно от горизонтали. Значение угла определяет, насколько сила помогает движению или противодействует ему, поэтому от α зависят величина и знак работы.

Джоуль — единица работы в СИ: 1 Дж = 1 Н·м. Один джоуль совершает сила в один ньютон, перемещая тело на один метр вдоль своего направления. Эта единица показывает, что работу нельзя измерить только в ньютонах: в ней учитывается ещё и перемещение.

Как это устроено

Представим силу, направленную под углом к перемещению. Её можно разложить на две составляющие: параллельную перемещению и перпендикулярную ему. Параллельная составляющая меняет движение тела вдоль пути, поэтому именно она совершает работу. Перпендикулярная составляющая не сдвигает тело ни вперёд, ни назад по направлению перемещения, и её вклад в работу равен нулю.

Обозначим параллельную составляющую силы через F₍∥₎. Из геометрии разложения вектора следует, что F₍∥₎ = F cos α, где α — угол между силой и перемещением. Работа равна произведению этой составляющей на путь: A = F₍∥₎s. Подставляя выражение для проекции, получаем A = Fs cos α; формула применима, когда сила постоянна, а перемещение прямолинейно.

Косинус угла объясняет, почему работа может иметь разный знак. При остром угле cos α положителен: проекция силы направлена по перемещению, поэтому работа положительна. При тупом угле cos α отрицателен: проекция направлена против перемещения, и работа отрицательна. Если угол прямой, cos 90° = 0, значит, у силы нет составляющей вдоль движения и работа равна нулю.

При направлении силы вдоль перемещения α = 0°, cos 0° = 1, поэтому A = Fs: сила полностью действует в направлении движения. Если сила направлена против перемещения, α = 180°, cos 180° = −1, и A = −Fs: сила тормозит тело. При перпендикулярных направлениях α = 90° и A = 0; например, сила тяжести не совершает работу при горизонтальном перемещении тела, если высота не меняется.

Работа — скалярная величина: у неё есть числовое значение и знак, но нет собственного направления в пространстве, как у вектора силы. Поэтому работы разных сил можно складывать алгебраически, учитывая, положительны они или отрицательны. Из A = Fs при направлении силы вдоль пути следует, что единица работы — ньютон, умноженный на метр. Так получают соотношение 1 Дж = 1 Н·м.

Работа постоянной силы в зависимости от направления

Найдите в таблице направление силы относительно перемещения и определите соответствующий угол. Затем используйте указанную формулу: для промежуточных углов учитывайте косинус. Знак результата подскажет, способствует сила движению или препятствует ему.

Разбор задач

Сила направлена вдоль перемещения

На тело действует сила 10 Н, направленная вдоль его перемещения на 3 м. Найдём работу силы. Поскольку сила и перемещение совпадают по направлению, угол между ними равен нулю, а косинус этого угла равен единице.

1. Запишем формулу: A = Fs cos α.
2. Подставим F = 10 Н, s = 3 м и α = 0°: A = 10 · 3 · cos 0°.
3. Вычислим: A = 30 · 1 = 30 Дж.

Работа положительна, потому что сила направлена по перемещению. Ответ: 30 Дж.

Сила действует под углом

Сила 20 Н действует на тело, которое перемещается на 5 м под углом 60° к силе. Здесь нельзя использовать формулу A = Fs без поправки: сила направлена не целиком вдоль пути. Вычислим проекцию силы на направление перемещения с помощью косинуса.

1. Используем формулу для постоянной силы: A = Fs cos α.
2. Подставим данные: A = 20 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получим A = 100 · ½ = 50 Дж.

Угол острый, поэтому работа положительна: составляющая силы помогает перемещению. Ответ: 50 Дж.

Работы силы тяги и трения

Тело переместилось на 4 м. Сила тяги 15 Н направлена по движению, а сила трения 5 Н — против него. Работу каждой силы найдём отдельно, потому что они имеют разные направления относительно перемещения. После этого сложим работы с учётом знаков.

1. Для силы тяги α = 0°, поэтому A₍т₎ = 15 · 4 = 60 Дж.
2. Для силы трения α = 180°, поэтому A₍тр₎ = 5 · 4 · cos 180° = −20 Дж.
3. Сложим работы: A₍сум₎ = 60 + (−20) = 40 Дж.

Трение совершает отрицательную работу, так как направлено против движения. Суммарная работа положительна, поскольку работа тяги больше по модулю. Ответ: работа тяги — 60 Дж, работа трения — −20 Дж, суммарная работа — 40 Дж.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять угол между силой и горизонталью, хотя тело перемещается в другом направлении. Ученик может выбрать горизонталь, потому что её легко увидеть, но формула учитывает угол именно между силой и перемещением. Чтобы проверить себя, сначала нарисуйте оба вектора и отметьте угол между ними. Если направление перемещения не совпадает с горизонталью, эти углы могут различаться.

Вторая ошибка — считать работу силы трения положительной только потому, что модуль силы положителен. Модуль действительно не бывает отрицательным, но знак работы задаёт косинус угла, а сила трения обычно направлена против движения. Проверка проста: сравните направление трения с перемещением и убедитесь, что при тупом угле работа отрицательна.

Третья ошибка — приписывать работу силе, перпендикулярной перемещению. Она действует на тело, но не имеет составляющей вдоль пути, поэтому её проекция равна нулю. Проверьте результат через cos 90°: формула даст A = 0. Четвёртая ошибка — записывать единицу работы просто как ньютон или указывать джоуль без связи с исходными единицами. Ньютон измеряет силу, а не работу; самопроверка по формуле даёт 1 Дж = 1 Н·м.

Связь с другими темами

Чтобы находить работу, нужно знать силу и перемещение, понимать, что такое вектор, и уметь находить его проекцию на заданное направление. Эти понятия помогают определить составляющую силы, которая действует вдоль движения. Далее работа понадобится для изучения теоремы о кинетической энергии и закона сохранения энергии: с её помощью описывают изменение энергии тела и её превращения. Понятие работы также связано с мощностью и энергетическими характеристиками машин и механизмов.

Что запомнить

• Работа постоянной силы: A = Fs cos α.
• В формуле учитывается угол между силой и перемещением.
• Работа — скалярная величина.
• При остром угле работа положительна, при тупом — отрицательна.
• Если сила перпендикулярна перемещению, её работа равна нулю.
• Единица работы — джоуль: 1 Дж = 1 Н·м.