§ 92. Силовые линии электрического поля. Напряженность поля заряженного шара

Определения и обозначения

Силовая линия электрического поля — воображаемая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением напряжённости поля. Это не материальная нить, а способ изобразить поле на рисунке. По касательной можно определить, куда направлена сила, действующая на положительный пробный заряд.

Напряжённость электрического поля — векторная физическая величина, равная отношению силы, действующей на пробный заряд, к величине этого заряда; её обозначают E. Если заряд равен q, а сила равна F, то E = F/q. Это определение позволяет сравнивать действие поля на заряды и рассчитывать силу: F = qE.

Поле заряженного шара — электрическое поле, создаваемое зарядом, распределённым по поверхности шара. Для точек вне шара оно эквивалентно полю точечного заряда, помещённого в центре. Это упрощает расчёты: вместо распределённого по поверхности заряда можно использовать общий заряд шара Q.

Однородное поле — поле, в котором напряжённость одинакова по модулю и направлению во всех точках. В таком поле силовые линии изображают параллельными и одинаково густыми. Это понятие помогает отличать участки с постоянным действием поля от поля шара, где напряжённость меняется с расстоянием.

Как это устроено

Направление силовых линий задают так, чтобы оно совпадало с направлением вектора E. Густота линий показывает относительную величину напряжённости: в области, где поле сильнее, линии располагают плотнее. Такое изображение удобно, потому что одновременно передаёт и направление действия поля, и сравнение его силы в разных местах.

У положительного заряда линии выходят наружу, а у отрицательного входят к нему. Причина в том, что направление напряжённости определяют по силе, действующей на положительный пробный заряд: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Силовые линии не пересекаются, так как в одной точке вектор напряжённости не может иметь два направления.

Вне равномерно заряженного шара поле направлено по радиусам, то есть к центру или от него. Сферическая симметрия означает, что на одинаковом расстоянии от центра поле одинаково по модулю и направлению относительно радиуса. Поэтому для внешних точек его можно рассчитывать как поле точечного заряда Q в центре: E = k|Q|/r², где r — расстояние от центра шара.

В проводнике свободные заряды могут перемещаться. Если внутри проводника есть электрическое поле, оно заставляет заряды двигаться, поэтому электростатическое равновесие ещё не установилось. Перераспределение зарядов прекращается, когда поле внутри проводника становится равным нулю; снаружи же напряжённость уменьшается по закону обратных квадратов расстояния от центра.

На поверхности шара радиус направлен по нормали к поверхности, то есть перпендикулярно ей. Поскольку поле заряженного шара радиальное, силовые линии пересекают поверхность под прямым углом. При смене знака заряда направления линий меняются на противоположные, но при неизменном модуле заряда величина E остаётся той же: в формуле используется |Q|.

Напряжённость поля заряженного проводящего шара

Сначала определите, где находится точка: внутри проводника, на поверхности или снаружи. Затем выберите соответствующую формулу и направление по знаку заряда. Обратите внимание, что закон E = k|Q|/r² для точек вне шара нельзя применять внутри проводника.

Разбор задач

Силовые линии положительно заряженного шара

Задача. Нарисовать силовые линии поля положительно заряженного шара и указать их направление. Для построения используйте симметрию шара: одинаковые точки на одинаковом расстоянии от центра должны изображаться одинаково. Нужно показать, как поле действует на положительный пробный заряд.

1. Отметьте шар и его центр. Из-за сферической симметрии линии должны идти по радиусам, а не изгибаться в сторону.
2. Проведите несколько линий от поверхности наружу. Поставьте на них стрелки от шара, потому что его заряд положителен и положительный пробный заряд отталкивается.
3. Распределите линии равномерно вокруг шара. Вблизи поверхности их можно показать гуще, чем далеко от неё, чтобы отразить уменьшение напряжённости с расстоянием.

Ответ: силовые линии радиальны и направлены от положительно заряженного шара. На поверхности они перпендикулярны ей, а с удалением от шара становятся менее густыми.

Напряжённость на расстоянии r от шара

Задача. Найти напряжённость поля на расстоянии r от центра шара радиуса R с зарядом Q, если r > R. Поскольку точка лежит снаружи, внутри проводника она не находится. Значит, можно применить формулу для внешнего поля шара.

1. Сравните расстояние с радиусом: условие r > R подтверждает, что точка расположена вне шара. Поэтому распределение заряда можно заменить точечным зарядом Q в центре.
2. Подставьте расстояние r в формулу напряжённости точечного заряда: E = k|Q|/r². Модуль Q берут потому, что напряжённость как величина неотрицательна, а знак заряда определяет только направление поля.
3. Если требуется направление, укажите его отдельно. При Q > 0 поле направлено от центра, а при Q < 0 — к центру.

Ответ: E = k|Q|/r² при r > R. Направление радиальное и определяется знаком заряда шара.

Сравнение напряжённостей в двух точках

Задача. Сравнить напряжённости поля шара в точках, находящихся на расстояниях r₁ и r₂ от центра, если обе точки расположены снаружи. Заряд шара в этих точках один и тот же. Нужно понять, как расстояние влияет на напряжённость.

1. Запишите формулы для обеих точек: E₁ = k|Q|/r₁² и E₂ = k|Q|/r₂². Условие о внешнем расположении позволяет использовать одну и ту же формулу в обоих случаях.
2. Разделите первое выражение на второе. Общие множители k и |Q| сокращаются, поэтому отношение зависит только от расстояний: E₁/E₂ = r₂²/r₁².
3. Проверьте смысл результата: если r₁ меньше r₂, то E₁ больше E₂. При увеличении расстояния поле ослабевает, причём зависимость определяется квадратом расстояния.

Ответ: E₁/E₂ = r₂²/r₁². Например, при увеличении расстояния в два раза напряжённость становится в четыре раза меньше.

Типичные ошибки

Силовые линии иногда принимают за реальные материальные нити, потому что на рисунке они выглядят как непрерывные кривые. На самом деле это только графический способ показать поле, а не предметы, существующие в пространстве. Проверка простая: линия помогает описать направление и относительную силу поля, но её нельзя обнаружить как отдельный объект.

Направление линии можно ошибочно считать направлением движения любого заряда. Однако оно показывает направление силы, действующей на положительный пробный заряд; отрицательный заряд испытывает силу в противоположную сторону. Чтобы проверить себя, сначала определите знак рассматриваемого заряда, а затем применяйте направление E.

Формулу E = k|Q|/r² иногда продолжают применять внутри шара. Её используют для внешнего поля, а для проводника в электростатическом равновесии внутри проводника E = 0. Перед вычислением сравните расстояние от центра с радиусом шара и выясните, в какой области расположена точка.

Ещё одна ошибка — считать, что напряжённость убывает обратно пропорционально r. Внешнее поле шара убывает пропорционально 1/r², поэтому увеличение расстояния в два раза уменьшает E в четыре раза. Проверка — подставить расстояния в отношение E₁/E₂ = r₂²/r₁², а не сравнивать их без квадрата.

Связь с другими темами

Для понимания силовых линий нужно знать, что такое электрический заряд, как действует закон Кулона и как определяется напряжённость поля. Закон Кулона связывает силу взаимодействия зарядов с расстоянием, а напряжённость описывает действие поля в выбранной точке. Поэтому формула внешнего поля шара использует тот же закон зависимости от расстояния, что и поле точечного заряда.

Изображения силовых линий помогают строить и читать картины электрических полей, а также сравнивать их в разных областях. Эти знания применяют при решении задач о взаимодействии зарядов и проводников. Понимание поведения зарядов в проводнике также объясняет, почему поле внутри заряженного проводящего шара в электростатическом равновесии отсутствует.

Что запомнить

• Направление силовой линии совпадает с направлением вектора напряжённости.
• Силовые линии выходят из положительных зарядов и входят в отрицательные.
• Силовые линии не пересекаются.
• Чем гуще силовые линии, тем сильнее поле.
• Снаружи заряженного шара поле эквивалентно полю точечного заряда в его центре.
• Внутри проводящего шара в электростатическом равновесии напряжённость равна нулю.