§ 91. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей

Определения и обозначения

Напряжённость электрического поля — векторная физическая величина, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, к величине этого заряда: E = F/q. Здесь F — сила, а q — пробный заряд; единица напряжённости — Н/Кл. Эта величина показывает, с какой силой поле действовало бы на каждый кулон положительного заряда, и позволяет сравнивать поля независимо от выбранной проверки.

Пробный заряд — малый положительный заряд, с помощью которого определяют свойства электрического поля. Он должен быть достаточно малым, чтобы своим присутствием не перераспределять другие заряды и не менять поле, которое измеряют. Иначе сила на пробный заряд описывала бы уже изменённую ситуацию, а не исходное поле.

Напряжённость поля точечного заряда — модуль E = k|Q|/r², где Q — заряд-источник, r — расстояние до него, k — постоянная закона Кулона. Модуль зависит от величины заряда источника и расстояния до него, но не от пробного заряда. Вектор направлен от положительного источника и к отрицательному, поскольку именно так действовала бы сила на положительный пробный заряд.

Принцип суперпозиции электрических полей утверждает, что результирующая напряжённость в точке равна векторной сумме напряжённостей, создаваемых каждым зарядом отдельно. Сначала находят вклад каждого источника, а затем складывают векторы с учётом их направлений. Это позволяет рассчитывать поле сложной системы зарядов, не заменяя её одним источником.

Как это устроено

Поле проявляет себя действием на заряд: если поместить в него пробный заряд, на тот подействует электрическая сила. Однако сама сила зависит от того, насколько велик пробный заряд, поэтому по одной только силе нельзя сравнивать разные поля. Деление силы на q устраняет эту зависимость: для неизменного поля сила растёт пропорционально заряду, и отношение F/q остаётся постоянным. Поэтому напряжённость характеризует поле в данной точке, а не конкретный опыт с конкретным зарядом.

Направление вектора E задают через положительный пробный заряд, чтобы договориться о едином способе описания поля. На положительный пробный заряд сила направлена вдоль поля, значит, вектор напряжённости указывает туда же. Источник с положительным зарядом отталкивает такой пробный заряд, поэтому его поле направлено наружу. Источник с отрицательным зарядом притягивает пробный заряд, поэтому поле направлено внутрь, к источнику.

Формулу для точечного заряда можно получить из закона Кулона: сила взаимодействия зарядов по модулю равна k|Qq|/r². Чтобы найти напряжённость, эту силу делят на модуль пробного заряда q, и он сокращается: E = k|Q|/r². Квадрат расстояния в знаменателе появляется именно из закона Кулона. Поэтому при увеличении расстояния в два раза напряжённость становится в четыре раза меньше, а при уменьшении расстояния — возрастает.

Если поле создают несколько зарядов, каждый из них действует на пробный заряд и создаёт в выбранной точке свою силу. Каждой такой силе соответствует отдельный вектор напряжённости, который можно вычислить так, будто остальных источников нет. Затем векторы складывают геометрически, поскольку силы и напряжённости имеют направления. Их результирующая и описывает совместное действие всех источников в этой точке.

При симметричном расположении зарядов удобно сначала сравнить модули и направления отдельных векторов. Равные векторы, направленные противоположно, взаимно компенсируются; равные векторы одного направления усиливают друг друга. Если направления различаются, нужно разложить векторы на составляющие или построить геометрическую сумму. Например, у двух равных перпендикулярных векторов одинаковые по модулю составляющие по осям складываются отдельно, а итог направлен по диагонали между ними.

Напряжённость электрического поля

Сначала найдите строку, соответствующую ситуации: для одного точечного источника используйте формулу с расстоянием, а для нескольких источников — правило векторной суммы. Формула даёт модуль, поэтому направление нужно определить отдельно по знаку заряда или расположению остальных векторов. В задаче на несколько зарядов не подменяйте геометрическое сложение сложением чисел.

Разбор задач

В первой задаче на заряд 2 · 10⁻⁶ Кл действует сила 0,04 Н. Требуется найти напряжённость поля в точке. По определению делим силу на величину пробного заряда, а перед вычислением проверяем, что заряд дан в кулонах. Получаем E = 0,04/(2 · 10⁻⁶) = 2 · 10⁴ Н/Кл. Ответ: 20 000 Н/Кл.

1. Запишем известные величины: F = 0,04 Н, q = 2 · 10⁻⁶ Кл.
2. Выберем определение напряжённости: E = F/q. Здесь q — заряд, на который действует сила, а не заряд источника поля.
3. Подставим данные: E = 0,04/(2 · 10⁻⁶) = 0,02 · 10⁶ = 2 · 10⁴ Н/Кл. Единицу получаем делением ньютонов на кулоны.

Во второй задаче источник имеет заряд Q = 3 · 10⁻⁸ Кл, расстояние до точки r = 0,2 м. Используем формулу точечного заряда и значение постоянной k = 9 · 10⁹ Н·м²/Кл². Тогда E = k|Q|/r² = (9 · 10⁹ · 3 · 10⁻⁸)/(0,2)² = 27/0,04 = 675 Н/Кл. Поскольку заряд положительный, вектор напряжённости направлен от него.

1. Выпишем данные: Q = 3 · 10⁻⁸ Кл, r = 0,2 м; требуется найти модуль и направление E.
2. Для модуля применим E = k|Q|/r². Модуль заряда записан в формуле, чтобы значение напряжённости было положительным и для отрицательного источника.
3. Вычислим: r² = 0,04 м², k|Q| = 27, поэтому E = 27/0,04 = 675 Н/Кл. Знак Q положительный, значит, направление — от источника к рассматриваемой точке.

В третьей задаче два поля имеют модули 300 Н/Кл и 400 Н/Кл и направлены перпендикулярно. Так как векторы образуют прямоугольный треугольник, результирующий модуль находим по теореме Пифагора: E = √(300² + 400²) = 500 Н/Кл. Направление лежит между исходными векторами, причём ближе к вектору 400 Н/Кл. Угол к нему равен arctg(300/400) ≈ 37°.

1. Обозначим перпендикулярные составляющие: E₁ = 300 Н/Кл и E₂ = 400 Н/Кл. Их нельзя просто сложить как числа, поскольку они направлены под прямым углом.
2. Построим прямоугольный треугольник из векторов и найдём длину диагонали: E = √(E₁² + E₂²) = √(90 000 + 160 000) = 500 Н/Кл.
3. Угол α между результирующим вектором и вектором 400 Н/Кл задаётся tg α = 300/400. Следовательно, α ≈ 37° в сторону вектора 300 Н/Кл от направления вектора 400 Н/Кл.

Типичные ошибки

Считать напряжённость скаляром — значит забывать, что кроме модуля у неё есть направление. Так ошибаются, когда видят в формуле обычное число и переносят этот способ на сложение полей. Проверяйте себя по обозначению E и по смыслу: если направления векторов различны, сначала требуется геометрическое сложение.

Подставлять в E = F/q заряд источника вместо пробного — значит смешивать две разные роли зарядов. Источник создаёт поле, а пробный заряд испытывает действие поля; сила в определении относится именно к пробному заряду. Проверьте, что в числителе стоит действующая на него сила, а в знаменателе — его заряд.

Направлять поле отрицательного заряда от него неверно: такое направление было бы верным для положительного источника. Ошибку вызывает привычка считать, что поле всегда расходится от заряда. Мысленно поместите рядом положительный пробный заряд: отрицательный источник притянет его, поэтому вектор E направлен к источнику.

Складывать только модули напряжённостей без учёта направлений можно лишь в частном случае, когда векторы направлены одинаково. Обычно такой шаг приводит к неправильному результату: поля могут частично ослаблять друг друга или полностью компенсироваться. Перед вычислением нарисуйте направления, а для противоположных векторов вычитайте меньший модуль из большего.

Связь с другими темами

Для изучения напряжённости нужны закон Кулона, представления об электрическом заряде и силе, а также умение складывать векторы. Закон Кулона даёт связь между зарядами, расстоянием и силой, из которой выводится формула поля точечного заряда. Правила сложения векторов помогают находить результирующее поле нескольких источников.

Понятие напряжённости понадобится при описании движения заряженных частиц в электрическом поле. Зная поле и заряд частицы, можно определить действующую на неё силу по формуле F = qE. Напряжённость также используют при изучении работы электрического поля: она помогает связать свойства поля с изменением движения и энергии зарядов.

Что запомнить

• Напряжённость поля определяется отношением силы к положительному пробному заряду: E = F/q.
• Напряжённость — векторная величина; её единица измерения — Н/Кл.
• Вектор E направлен так же, как сила, действующая на положительный пробный заряд.
• Поле положительного точечного заряда направлено от заряда, отрицательного — к заряду.
• Для точечного заряда E = k|Q|/r².
• Результирующая напряжённость нескольких полей равна векторной сумме отдельных напряжённостей.