"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Колебательный контур — цепь из конденсатора и катушки, в которой после начального заряда могут возникать свободные электромагнитные колебания. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — магнитного; при их взаимном превращении меняются заряд и сила тока. В идеальном контуре энергия сохраняется, а изменения величин происходят гармонически. Период этих колебаний определяется ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор разделяет и накапливает заряды, создавая электрическое поле; катушка при прохождении тока создаёт магнитное поле. Вместе эти элементы позволяют энергии переходить из одной формы в другую, поэтому в контуре возможны колебания.
Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после вывода контура из равновесия без внешнего периодического воздействия. Например, конденсатор сначала заряжают, затем замыкают цепь на катушку. Термин «свободные» указывает, что дальнейшее движение системы поддерживается её собственными свойствами, а не периодической внешней силой.
Гармонические колебания — колебания, при которых величины меняются со временем по закону синуса или косинуса. Заряд можно записать как q = qₘ cos(ωt + φ), где qₘ — амплитуда, то есть наибольший модуль заряда, ω — циклическая частота, φ — начальная фаза. Такая запись помогает находить значение величины в любой момент и сравнивать фазы заряда и тока.
Собственная частота колебательного контура — частота его свободных колебаний, определяемая параметрами конденсатора и катушки. Для идеального контура период равен T = 2π√(LC), а частота ν = 1/T; здесь L — индуктивность, C — ёмкость. Эти формулы показывают, как свойства элементов задают темп колебаний без необходимости задавать его извне.
Сначала конденсатор заряжают, поэтому на его обкладках появляются заряды противоположных знаков, а между ними возникает электрическое поле. В поле запасена энергия Wэл = q²/(2C), где q — заряд конденсатора, C — его ёмкость. После замыкания контура разность потенциалов заставляет заряды двигаться по цепи, то есть появляется ток. Энергия электрического поля начинает уменьшаться, а часть её переходит в движение зарядов и магнитное поле катушки.
Ток в катушке нарастает не мгновенно, потому что его изменение вызывает ЭДС самоиндукции. Она направлена так, чтобы препятствовать изменению тока, и потому не позволяет ему сразу достичь максимума. Когда конденсатор полностью разряжен, напряжение на нём равно нулю, но ток уже значителен. Катушка продолжает поддерживать ток благодаря изменяющемуся магнитному полю и запасённой в нём энергии.
Продолжающийся ток переносит заряды на обкладки уже в обратном направлении. Поэтому конденсатор постепенно заряжается с противоположной полярностью, а ток со временем уменьшается: теперь магнитное поле отдаёт энергию электрическому полю. Когда заряд достигает максимума по модулю, ток прекращается на мгновение. Затем конденсатор начинает разряжаться обратно, и процесс повторяется с изменением направления тока.
Так возникают периодические изменения заряда и силы тока. В идеальном контуре, где нет сопротивления и потерь, сумма энергий электрического и магнитного полей постоянна: W = q²/(2C) + LI²/2. При максимальном заряде энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора, а при нулевом заряде и максимальном токе — в магнитном поле катушки. В реальном контуре часть энергии рассеивается, поэтому колебания постепенно затухают.
Для гармонического процесса заряд можно представить как q = qₘ cos(ωt), если в начальный момент он максимален. Ток связан с изменением заряда: I = dq/dt, поэтому I = −ωqₘ sin(ωt) при таком выборе направления тока. Эти зависимости сдвинуты по фазе на четверть периода: при максимальном по модулю заряде ток равен нулю, а при нулевом заряде модуль тока максимален. Период T и циклическая частота ω связаны формулой ω = 2π/T, а собственная частота контура определяется равенством T = 2π√(LC).
| Величина | Зависимость от времени | Когда достигает максимума | Связь с другими величинами |
|---|---|---|---|
| Заряд конденсатора q | q = qₘ cos(ωt + φ) | По модулю — при крайних значениях заряда | U = q/C; I = dq/dt |
| Сила тока I | I = dq/dt; для q = qₘ cos(ωt): I = −ωqₘ sin(ωt) | По модулю — при q = 0 | Сдвинута с зарядом на четверть периода |
| Энергия электрического поля конденсатора | Wэл = q²/(2C) | При максимальном |q| | При q = 0 равна нулю |
| Энергия магнитного поля катушки | Wмаг = LI²/2 | При максимальном |I| | При I = 0 равна нулю |
| Полная энергия контура | W = Wэл + Wмаг | Постоянна в идеальном контуре | Переходит между электрической и магнитной формами |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какая величина известна в рассматриваемый момент: заряд или ток. Затем найдите соответствующую энергию и учитывайте, что в идеальном контуре их сумма неизменна. Формулы для q и I позволяют установить, в какой фазе колебаний находится система.
В идеальном контуре qₘ = 4 мкКл, T = 2 мс. Начальный заряд максимален; требуется записать закон q(t) и найти заряд через 0,5 мс. Поскольку q(0) = qₘ, удобно выбрать косинус без начальной фазы: q = qₘ cos(ωt).
Находим циклическую частоту: ω = 2π/T = 2π/(2·10⁻³ с) = 1000π рад/с. Значит, закон изменения заряда имеет вид q = 4·10⁻⁶ cos(1000πt) Кл, где t выражено в секундах. Коэффициент перед косинусом — амплитуда заряда.
Подставляем t = 0,5 мс = 0,5·10⁻³ с: аргумент равен 1000π · 0,5·10⁻³ = π/2. Так как cos(π/2) = 0, в этот момент заряд конденсатора равен нулю. Это четверть периода, когда модуль тока максимален.
Ответ: q = 4·10⁻⁶ cos(1000πt) Кл; через 0,5 мс q = 0.
Заряд задан законом q = 6·10⁻⁶ cos(500πt) Кл. Нужно определить период T, частоту ν и максимальную силу тока Iₘ. Сопоставляем запись с q = qₘ cos(ωt): амплитуда равна 6·10⁻⁶ Кл, а циклическая частота — 500π рад/с.
Используем ω = 2π/T, откуда T = 2π/ω. Получаем T = 2π/(500π) = 0,004 с = 4 мс. Период — время одного полного колебания.
Частота показывает число колебаний за секунду: ν = 1/T = 1/0,004 = 250 Гц. Чтобы найти ток, дифференцируем q по времени: I = −ωqₘ sin(ωt). Амплитуда синуса равна единице, поэтому Iₘ = ωqₘ = 500π · 6·10⁻⁶ ≈ 9,42·10⁻³ А.
Ответ: T = 4 мс, ν = 250 Гц, Iₘ ≈ 9,42 мА.
Ёмкость C = 2 мкФ, индуктивность L = 0,5 Гн, начальное напряжение U₀ = 12 В. Найдём период и максимальный ток, считая контур идеальным. Сначала определим начальный заряд, затем используем формулу собственного периода и сохранение энергии.
Переводим ёмкость в фарады: C = 2·10⁻⁶ Ф. Начальный заряд qₘ = CU₀ = 2·10⁻⁶ · 12 = 24·10⁻⁶ Кл. Период равен T = 2π√(LC) = 2π√(0,5 · 2·10⁻⁶) = 2π·10⁻³ ≈ 6,28·10⁻³ с.
В начале энергия находится в электрическом поле конденсатора, а при максимальном токе — в магнитном поле катушки. Поэтому CU₀²/2 = LIₘ²/2, откуда Iₘ = U₀√(C/L). Подставляем данные: Iₘ = 12√(2·10⁻⁶/0,5) = 0,024 А.
Ответ: T ≈ 6,28 мс, Iₘ = 24 мА.
Ошибка: считать ток максимальным одновременно с зарядом конденсатора. Так рассуждают, если воспринимают ток как меру количества заряда, но ток показывает скорость его изменения. Проверьте себя по формулам: при максимальном по модулю q производная dq/dt равна нулю, а при q = 0 модуль тока максимален.
Ошибка: путать период T и циклическую частоту ω. Период измеряется в секундах, а циклическая частота — в радианах в секунду; поэтому ω = 2π/T, а не 1/T. Проверка: частота ν = 1/T, а ω = 2πν.
Ошибка: полагать, что ток прекращается сразу после разрядки конденсатора. Заряд q = 0 означает, что исчезло электрическое поле конденсатора, но магнитное поле катушки в этот момент максимально. Самоиндукция препятствует мгновенному изменению тока, поэтому он продолжает течь и перезаряжает конденсатор. Проверьте фазу: нулевому заряду соответствует максимальный по модулю ток.
Ошибка: считать, что энергия всегда находится только в одном элементе. Такой вывод возникает, если рассматривать отдельно конденсатор или катушку, не учитывая весь контур. В процессе колебаний энергии электрического и магнитного полей меняются, а в идеальном контуре их сумма постоянна. Для проверки используйте W = q²/(2C) + LI²/2.
Для понимания колебательного контура нужны знания об устройстве конденсатора и катушки, электрическом заряде, силе тока и энергии полей. Тема опирается на механические гармонические колебания и связь тока со скоростью изменения заряда; позднее эти представления пригодятся при изучении переменного тока и электромагнитных волн. В задачах важно применять закон сохранения энергии и различать период, частоту и циклическую частоту. Это помогает выбирать нужную формулу, не смешивая физические величины.
Почему после полной разрядки конденсатора ток не прекращается?
Ток в катушке не может мгновенно исчезнуть: возникающая при изменении тока ЭДС самоиндукции препятствует этому изменению. Поэтому ток продолжает течь и после того, как заряд конденсатора стал равен нулю.
Почему конденсатор перезаряжается с противоположной полярностью?
Продолжающийся ток переносит заряды на обкладки конденсатора. Пока ток течёт, на них накапливаются заряды противоположных знаков, и полярность конденсатора меняется.
Когда в контуре максимальны энергия конденсатора и энергия катушки?
Энергия конденсатора максимальна, когда модуль его заряда максимален, а ток равен нулю. Энергия магнитного поля катушки максимальна при наибольшем модуле тока, когда заряд конденсатора равен нулю.
Почему заряд и сила тока достигают максимума в разные моменты?
Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода: ток связан со скоростью изменения заряда. Поэтому при максимальном по модулю заряде его изменение на мгновение прекращается, а при нулевом заряде заряд меняется быстрее всего.
От чего зависит период свободных колебаний в контуре?
Период зависит от ёмкости конденсатора C и индуктивности катушки L: T = 2π√(LC). Чем больше C или L, тем медленнее происходят колебания и тем больше их период.
§ 32. Процессы при гармонических колебаниях в колебательном контуре
