§ 33. Вынужденные электромагнитные колебания. Переменный ток

Определения и обозначения

Вынужденные электромагнитные колебания — колебания зарядов и тока в цепи, поддерживаемые периодически меняющейся внешней ЭДС. ЭДС — характеристика источника, показывающая, какую работу он совершает при перемещении заряда. Источник пополняет энергию цепи и не даёт колебаниям затухнуть. Это понятие помогает отличать колебания, вызванные источником, от свободных.

Переменный ток — электрический ток, сила и направление которого периодически изменяются со временем. Его мгновенное значение обозначают i; для гармонического тока оно может быть записано как i = Iₘ cos(ωt + φ). Здесь ω — циклическая частота, а φ — начальная фаза, задающая состояние колебаний при t = 0. Такая запись нужна, чтобы находить ток в любой момент времени.

Амплитуда переменного тока — наибольшее по модулю значение силы тока за период; её обозначают Iₘ. Амплитуда показывает, насколько далеко ток отклоняется от нуля в каждом направлении. Например, при Iₘ = 2 А ток может достигать значений +2 А и −2 А. Зная амплитуду, можно описать предельные значения тока и связать их с действующим значением.

Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, который за то же время выделил бы в проводнике такое же количество теплоты. Для гармонического тока его обозначают I и вычисляют по формуле I = Iₘ/√2. Поэтому действующее значение меньше амплитуды. Оно нужно для практических расчётов мощности и нагревания проводников.

Как это устроено

Источник периодической ЭДС передаёт энергию колебательному контуру через электрическое поле. Когда ЭДС действует на заряды, она создаёт ток и поддерживает их движение; при изменении знака ЭДС меняется и направление воздействия. Часть энергии может теряться, например, из-за нагревания проводов. Источник восполняет эти потери, поэтому колебания продолжаются, пока действует внешнее воздействие.

Если ЭДС меняется гармонически, она поочерёдно усиливает ток в одну и другую сторону. Поэтому после переходного процесса, когда устанавливается режим, ток тоже меняется периодически и может быть описан синусом или косинусом. Конкретный сдвиг между изменениями ЭДС и тока зависит от свойств цепи. Гармоническая запись позволяет определить значение тока для любого времени, а не только его максимумы.

Период T — время одного полного повторения изменений тока, а частота ν показывает, сколько таких повторений происходит за секунду. В установившихся вынужденных колебаниях частоту задаёт внешний источник: именно с такой частотой он меняет ЭДС. Между периодом и частотой есть обратная связь: T = 1/ν. Циклическую частоту обозначают ω и находят по формуле ω = 2πν.

В течение периода гармонический ток проходит через положительные и отрицательные значения. Знак показывает направление: при смене знака направление тока в цепи меняется на противоположное. Нулевые значения соответствуют моментам перехода от одного направления к другому. Амплитуда Iₘ при этом характеризует наибольшую силу тока независимо от того, в какую сторону он течёт.

Для переменного тока неудобно использовать мгновенные значения, если нужно оценить нагрев за длительное время: ток постоянно меняется. Поэтому вводят действующее значение — такую силу постоянного тока, которая дала бы тот же тепловой эффект за выбранное время. Для гармонических колебаний усреднение теплового действия приводит к соотношению I = Iₘ/√2; аналогично U = Uₘ/√2 для напряжения. Так можно рассчитывать среднюю мощность по формуле P = I²R, используя действующие значения.

Характеристики гармонического переменного тока

Сначала определите, какое именно значение требуется: мгновенное, максимальное или действующее. Затем выберите соответствующую формулу и проверьте, что частота и период выражены в согласованных единицах. Для расчёта средней мощности в резисторе берите действующее значение тока, а не амплитуду.

Разбор задач

Задача 1. Сила тока меняется по закону i = 2 cos(100πt) А. Найдём амплитуду, циклическую частоту, частоту и период. Сопоставление с общей формой i = Iₘ cos(ωt + φ) позволяет сразу прочитать первые две характеристики. Для остальных используем связи ω = 2πν и T = 1/ν.

1. Коэффициент перед косинусом задаёт амплитуду: Iₘ = 2 А.
2. Коэффициент при времени равен циклической частоте: ω = 100π рад/с.
3. Находим частоту: ν = ω/(2π) = 100π/(2π) = 50 Гц.
4. Находим период: T = 1/ν = 1/50 с = 0,02 с.

Ответ: Iₘ = 2 А, ω = 100π рад/с, ν = 50 Гц, T = 0,02 с. Проверка: за одну секунду ток совершает 50 колебаний, поэтому одно колебание длится 1/50 секунды. Фаза здесь равна нулю, но для определения запрошенных величин она не нужна.

Задача 2. Амплитуда силы переменного тока равна 6 А. Требуется найти действующее значение. Поскольку речь идёт о гармоническом токе, применяем соотношение между действующим и амплитудным значениями. Не нужно подставлять амплитуду в формулы мощности как будто она уже действующая.

1. Записываем формулу: I = Iₘ/√2.
2. Подставляем Iₘ = 6 А: I = 6/√2 А.
3. Упрощаем: I = 3√2 А ≈ 4,24 А.

Ответ: действующее значение тока равно 3√2 А, или примерно 4,24 А. Оно меньше амплитуды, потому что характеризует усреднённое тепловое действие тока за период. При округлении сохраняем единицу измерения — ампер.

Задача 3. Через резистор сопротивлением 40 Ом проходит переменный ток с действующим значением 3 А. Определим среднюю мощность и количество теплоты за 2 минуты. Действующее значение уже дано, поэтому дополнительный переход от амплитуды не требуется. Время перед расчётом теплоты переводим в секунды.

1. Средняя мощность резистора: P = I²R = 3² · 40 = 360 Вт.
2. Переводим время: t = 2 мин = 120 с.
3. Находим теплоту: Q = Pt = 360 · 120 = 43 200 Дж.

Ответ: средняя мощность равна 360 Вт, за 2 минуты выделится 43 200 Дж теплоты. Проверка единиц: ватт, умноженный на секунду, даёт джоуль. Если бы вместо действующего значения была дана амплитуда, сначала понадобилось бы вычислить I = Iₘ/√2.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что направление переменного тока не меняется. Так думают, если воспринимают его как постоянный поток зарядов, хотя знак гармонической функции меняется в течение периода. Проверьте знак i в разные моменты: положительные и отрицательные значения соответствуют противоположным направлениям. За полный период ток проходит оба знака.

Ошибка — путать амплитуду с действующим значением. Амплитуда показывает максимум, а действующее значение связано с тепловым эффектом; смешение возникает из-за того, что обе величины измеряются в амперах. Для гармонического тока проверьте соотношение I = Iₘ/√2: действующее значение должно быть меньше амплитуды. Если они равны, вероятно, перепутаны обозначения или формулы.

Ошибка — приравнивать частоту тока к собственной частоте контура. Собственная частота описывает свободные колебания, а установившиеся вынужденные колебания идут с частотой внешнего источника. Проверьте, что именно дано в условии: если указан источник периодической ЭДС, частоту тока задаёт он. Частоту контура нельзя подставлять вместо частоты источника без дополнительных оснований.

Ошибка — подставлять амплитуду в формулу средней мощности как действующее значение. Это часто происходит потому, что формула P = I²R знакома по постоянному току. Для переменного тока в ней используют действующий ток; при подстановке Iₘ результат окажется завышенным в два раза, так как Iₘ² = 2I². Сначала уточните, какая величина приведена в условии, и при необходимости пересчитайте её.

Связь с другими темами

Чтобы понять вынужденные колебания, нужно знать свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре. Представления о периоде и частоте помогают сравнивать собственные колебания системы и воздействие источника. Так становится ясно, почему в установившемся режиме частоту задаёт внешняя ЭДС.

ЭДС, сила тока, напряжение и закон Ома нужны для описания того, как источник действует на цепь. Закон Ома связывает ток с напряжением и сопротивлением на участке цепи, а понятие ЭДС объясняет работу источника. Вместе эти понятия позволяют переходить от описания колебаний к расчётам в электрической цепи.

Действующее значение становится основой для дальнейшего изучения цепей переменного тока. Эти знания применяются при разборе работы трансформаторов и передачи электроэнергии. Связь тока, напряжения, мощности и теплового действия помогает оценивать реальные электрические устройства.

Что запомнить

• Вынужденные электромагнитные колебания поддерживаются внешней периодической ЭДС.
• В установившемся режиме частота колебаний равна частоте внешнего источника.
• Гармонический переменный ток периодически меняет величину и направление.
• Период и частота связаны соотношением T = 1/ν.
• Действующее значение гармонического тока равно амплитуде, делённой на √2.
• Действующее значение используют при расчёте средней мощности и теплового действия переменного тока.