§ 34. Резистор в цепи переменного тока. Действующие значения силы тока и напряжения

Определения и обозначения

Переменный ток — ток, который периодически изменяется со временем. Его мгновенное значение обозначают i и записывают, например, так: i = Iₘ sin(ωt), где Iₘ — амплитуда, а ωt задаёт фазу колебаний. Мгновенное значение относится к конкретному моменту, а амплитуда показывает наибольшее значение тока по модулю. Это различие нужно, чтобы не путать отдельное значение на графике с максимальным.

Активное сопротивление резистора переменному току обозначают R и измеряют в омах. Оно характеризует противодействие току и связано с превращением электрической энергии в теплоту. Для резистора закон Ома связывает мгновенные значения напряжения и тока: u = iR. Это позволяет находить одну величину по другой в любой момент времени.

Действующее значение силы тока — значение постоянного тока, который за то же время выделил бы в резисторе столько же теплоты, сколько данный переменный ток. Его обозначают Iд. Такое определение удобно, потому что позволяет оценивать нагрев и пользоваться привычными расчётами постоянного тока, даже когда ток меняет направление.

Действующее значение напряжения — напряжение постоянного тока, создающее в том же резисторе за то же время такой же тепловой эффект, как переменное напряжение. Его обозначают Uд. Оно даёт практическую меру воздействия переменного напряжения на прибор и позволяет рассчитывать ток и мощность без отслеживания каждого мгновения.

Как это устроено

В резисторе переменный ток вызывает периодическое выделение теплоты. Когда направление тока меняется, заряды движутся в обратную сторону, но столкновения носителей с частицами вещества продолжаются. Количество выделяемой теплоты зависит от квадрата силы тока, поэтому знак тока не отменяет нагрев: отрицательное значение при возведении в квадрат тоже даёт положительный результат. В результате резистор нагревается в течение всего периода.

Для резистора закон Ома справедлив в каждый момент: u = iR. Если сопротивление R не меняется, напряжение пропорционально току, и изменение одной величины сразу сопровождается соответствующим изменением другой. Когда ток равен нулю, напряжение тоже равно нулю; когда ток достигает максимума или минимума, напряжение одновременно достигает своего экстремума. Поэтому кривые тока и напряжения не сдвинуты друг относительно друга во времени.

Если напряжение меняется по синусоидальному закону, ток тоже меняется синусоидально. Это следует из равенства i = u/R: деление синусоиды на постоянное число сохраняет её форму и моменты прохождения через ноль. Ток и напряжение совпадают по фазе, а их амплитуды связаны формулой Uₘ = IₘR. Фаза описывает положение колебания внутри периода, поэтому совпадение фаз означает одновременное прохождение одинаковых характерных точек.

Для практических расчётов удобно заменить переменные величины постоянными эквивалентами по тепловому действию. Именно так определяют действующие значения: они отвечают на вопрос, какой постоянный ток или какое постоянное напряжение нагрели бы тот же резистор так же сильно за тот же промежуток времени. Такая мера позволяет рассчитывать действие бытовых электроприборов, не складывая теплоту отдельно для каждого мгновения. При этом речь идёт о сравнении именно тепловых эффектов в одном и том же сопротивлении.

У синусоидального тока действующее значение равно Iд = Iₘ/√2, а у синусоидального напряжения — Uд = Uₘ/√2. Коэффициент √2 возникает из усреднения квадрата синусоиды за полный период: среднее значение sin² равно ½. Поскольку ток и напряжение делятся на один и тот же коэффициент, их связь через сопротивление сохраняется и для действующих значений: Iд = Uд/R. В вычислениях важно применять эту форму закона Ома к двум действующим значениям или, отдельно, к двум амплитудам.

Кривые на графике показывают синусоидальную форму тока и напряжения и их совпадение по фазе; масштабы амплитуд выбраны условно. Чтобы проверить фазовое соотношение, сравните моменты, когда обе кривые проходят через ноль и достигают вершин. Разная высота кривых сама по себе не означает сдвига фаз: она показывает лишь различие выбранных амплитуд.

Если известна средняя мощность резистора, её можно найти по действующим значениям: P = UдIд. Эта формула получается из закона Ома и определения теплового действия переменного тока. Она особенно полезна для оценки энергопотребления прибора: подставлять в неё нужно действующие, а не амплитудные значения. Так расчёт учитывает нагрев за полный цикл колебаний.

Мгновенные и действующие значения в цепи с резистором

Сначала определите, о какой величине идёт речь: мгновенной, амплитудной или действующей. Затем используйте соответствующую строку и не смешивайте разные типы значений в одной формуле. Для обычных расчётов мощности и тока в приборах чаще всего нужны действующие значения.

Разбор задач

1. Амплитуда и действующее значение тока

Ток в резисторе задан законом i = 2 sin(ωt) А. Найдём его амплитуду и действующее значение. Сравним запись с общей формой i = Iₘ sin(ωt): коэффициент перед синусом и есть Iₘ. Затем применим связь амплитуды и действующего значения для синусоиды.

1. Из записи следует Iₘ = 2 А.
2. Действующее значение равно Iд = Iₘ/√2 = 2/√2 = √2 А ≈ 1,41 А.
3. Проверяем смысл результата: действующее значение меньше амплитуды, как и должно быть для синусоидального тока.

Ответ: амплитуда равна 2 А, действующее значение — √2 А, или примерно 1,41 А.

2. Действующий ток и амплитуда напряжения

К резистору сопротивлением 40 Ом приложено напряжение с действующим значением 120 В. Требуется найти действующий ток и амплитуду напряжения. Для тока используем закон Ома именно для действующих значений, а для амплитуды — обратное соотношение Uₘ = √2Uд. Так мы не смешиваем величины разных типов.

1. Находим ток: Iд = Uд/R = 120/40 = 3 А.
2. Переходим от действующего напряжения к амплитуде: Uₘ = √2Uд = 120√2 В.
3. Приближённо Uₘ ≈ 120 · 1,414 ≈ 170 В; амплитуда должна быть больше действующего значения.

Ответ: Iд = 3 А, Uₘ = 120√2 В ≈ 170 В.

3. Действующие значения и средняя мощность

Резистор сопротивлением 50 Ом подключён к источнику синусоидального напряжения с амплитудой 100 В. Найдём действующие напряжение и ток, а затем среднюю мощность. Сначала преобразуем амплитуду в действующее значение, после чего применим закон Ома и формулу P = UдIд. Это удобная последовательность: обе величины в формуле мощности окажутся одного типа.

1. Действующее напряжение: Uд = Uₘ/√2 = 100/√2 = 50√2 В ≈ 70,7 В.
2. Действующий ток: Iд = Uд/R = 50√2/50 = √2 А ≈ 1,41 А.
3. Средняя мощность: P = UдIд = 50√2 · √2 = 100 Вт.

Ответ: Uд = 50√2 В ≈ 70,7 В, Iд = √2 А ≈ 1,41 А, P = 100 Вт.

Типичные ошибки

Считают амплитуду действующим значением. Так происходит, если забыть, что амплитуда показывает максимум, а действующее значение связано со средним тепловым эффектом. Для синусоидального тока и напряжения действующее значение меньше амплитуды в √2 раза. Проверьте себя: если нашли Iд или Uд, разделив амплитуду на √2, результат должен быть меньше исходного.

Смешивают амплитуду одной величины с действующим значением другой. Например, подставляют амплитуду напряжения и действующий ток в одну формулу закона Ома. Ошибка возникает, когда не подписывают обозначения и считают все значения взаимозаменяемыми. Перед расчётом отметьте, что дано, а что требуется; сравнивать можно две амплитуды или два действующих значения.

Думают, что резистор перестаёт нагреваться при смене направления тока. Направление действительно меняется, но тепловое действие зависит от квадрата силы тока. Ошибку допускают, ориентируясь только на знак мгновенного значения: знак показывает направление, а не отсутствие нагрева. Проверка проста: квадрат и положительного, и отрицательного тока неотрицателен.

Предполагают, что ток опережает напряжение или отстаёт от него. Такое рассуждение переносят на резистор свойства других элементов цепи. Для чисто резистивной цепи u = iR, поэтому величины пропорциональны в каждый момент и фазы совпадают. Сверьте моменты перехода через ноль: у тока и напряжения они должны быть одинаковыми.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны закон Ома для участка цепи и понимание того, что показывают сила тока, напряжение и сопротивление. Закон Ома помогает связать величины в резисторе, а понятие сопротивления позволяет объяснить превращение электрической энергии в теплоту. При изучении мощности переменного тока действующие значения станут основой расчёта работы электроприборов и их энергопотребления.

Далее те же идеи пригодятся при рассмотрении цепей с катушкой и конденсатором. В них соотношения между током и напряжением сложнее, чем для резистора, в частности может появиться сдвиг фаз. Сравнение с резистивной цепью помогает увидеть, что именно меняется при добавлении новых элементов.

Что запомнить

• В резисторе переменного тока мгновенные значения связаны равенством u = iR.
• Ток и напряжение на резисторе совпадают по фазе.
• Амплитуды связаны соотношением Uₘ = IₘR.
• Для синусоидального тока Iд = Iₘ/√2.
• Для синусоидального напряжения Uд = Uₘ/√2.
• Закон Ома для действующих значений имеет вид Iд = Uд/R.