§ 7. Вынужденные электромагнитные колебания. Переменный ток

Определения и обозначения

Вынужденные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и напряжения под действием внешней ЭДС, меняющейся со временем. Источник поддерживает колебания, сообщая цепи энергию. После переходного процесса их частота равна частоте источника, а не обязательно собственной частоте цепи.

Переменный ток — ток, сила и направление которого периодически меняются. Гармонический ток описывает закон i = Iₘ cos(ωt + φ), где Iₘ — амплитуда, то есть наибольшее значение силы тока; T — период, время одного полного колебания; ν = 1/T — частота, число колебаний за секунду. Циклическая частота ω = 2πν показывает скорость изменения фазы и измеряется в рад/с.

Действующее значение переменного тока или напряжения — значение постоянной величины, которое за то же время выделило бы такое же количество теплоты. Поэтому оно позволяет оценить нагрев проводника, не отслеживая каждое мгновенное изменение. Для синусоидальных величин I = Iₘ/√2 и U = Uₘ/√2.

Резонанс в электрической цепи — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой системы. В последовательной цепи с катушкой и конденсатором он возникает, когда их реактивные сопротивления равны: Xₗ = X꜀. Сопротивление цепи при этом не исчезает: активная часть ограничивает амплитуду тока.

Как это устроено

Периодическая ЭДС источника заставляет заряды двигаться то быстрее, то медленнее, а при перемене направления воздействия меняет направление их движения. В начале процесса собственные колебания цепи могут накладываться на вызванные источником. Из-за потерь свободная составляющая постепенно затухает, поэтому остаются установившиеся колебания с частотой источника. Их амплитуда и сдвиг фазы определяются параметрами цепи и частотой ЭДС.

Когда напряжение меняется гармонически, ток в установившемся режиме тоже меняется гармонически. В записи i = Iₘ cos(ωt + φ) величина Iₘ задаёт высоту колебаний, а φ — начальную фазу, то есть положение колебания в выбранный момент времени. За время T фаза изменяется на 2π, поэтому ωT = 2π; отсюда следуют связи ν = 1/T и ω = 2πν. Косинус можно заменить синусом, изменив начальную фазу: физический смысл закона останется тем же.

На активном сопротивлении напряжение и ток связаны законом Ома u = iR. Если ток увеличивается, пропорционально ему увеличивается напряжение, поэтому их максимумы и нули совпадают. Источник передаёт энергию проводнику, где она необратимо превращается во внутреннюю энергию и выделяется в виде теплоты. Именно этим объясняется тепловое действие тока на резисторе.

В конденсаторе заряд разделяется между обкладками, и энергия запасается в электрическом поле. При переменном напряжении конденсатор попеременно заряжается и разряжается; ток опережает напряжение по фазе на π/2. В катушке изменение тока создаёт магнитное поле, в котором запасается энергия, а ток отстаёт от напряжения на π/2. В идеальных элементах эта энергия возвращается в цепь, а не расходуется на нагрев, как на сопротивлении.

В цепи с катушкой и конденсатором реактивные сопротивления зависят от частоты: Xₗ = ωL растёт с ней, а X꜀ = 1/(ωC) уменьшается. При изменении частоты меняется, какой элемент сильнее препятствует току и каков сдвиг фаз. Когда Xₗ = X꜀, их влияния в последовательной цепи взаимно компенсируются — наступает резонанс. Полное сопротивление становится минимальным, а амплитуда тока максимальной; её ограничивает активное сопротивление.

Поведение элементов цепи переменного тока

Сравнивайте элементы по строкам: так можно быстро определить, как каждый из них влияет на ток, фазу и энергию. Для цепи с несколькими элементами учитывайте их свойства вместе, а не переносите фазовое соотношение резистора на всю цепь.

Разбор задач

Задача 1. Сила тока задана законом i = 4 cos(100πt) А. Найти амплитуду, период и частоту тока. Сопоставим запись с общей формой i = Iₘ cos(ωt + φ): коэффициент перед косинусом — амплитуда, коэффициент при времени — циклическая частота. Затем найдём период и частоту.

1. Из закона видно, что Iₘ = 4 А, а ω = 100π рад/с. Амплитуда не зависит от значения косинуса в конкретный момент: она задаёт наибольший возможный ток.
2. Используем ω = 2π/T. Тогда T = 2π/ω = 2π/(100π) = 0,02 с.
3. Частота ν = 1/T = 1/0,02 = 50 Гц. Проверка: ω = 2πν = 100π рад/с, что совпадает с условием.

Ответ: Iₘ = 4 А, T = 0,02 с, ν = 50 Гц.

Задача 2. Амплитуда переменного напряжения равна 311 В. Найти действующее напряжение и сравнить тепловое действие с постоянным напряжением. Для синусоидального напряжения действующее значение равно амплитуде, делённой на √2. Именно его сравнивают с постоянным напряжением по количеству теплоты, выделенной на одном сопротивлении за одинаковое время.

1. Запишем формулу: U = Uₘ/√2. Подставим Uₘ = 311 В.
2. Получаем U ≈ 311/1,414 ≈ 220 В. Округление до целого допустимо, поскольку исходная амплитуда задана с точностью до целого вольта.
3. Переменное напряжение 311 В по амплитуде не эквивалентно постоянным 311 В. Его тепловое действие такое же, как у постоянного напряжения около 220 В на том же сопротивлении за то же время.

Ответ: действующее напряжение примерно 220 В; тепловое действие равно действию постоянного напряжения 220 В.

Задача 3. В последовательной цепи с активным сопротивлением, катушкой и конденсатором заданы параметры элементов и частота источника. Определить резонансную частоту и объяснить, как изменится ток при настройке на неё. Значения параметров в условии не приведены, поэтому ответ выразим через индуктивность L и ёмкость C. При резонансе реактивные сопротивления катушки и конденсатора одинаковы.

1. Запишем Xₗ = ωL и X꜀ = 1/(ωC). Условие резонанса Xₗ = X꜀ даёт ωL = 1/(ωC).
2. Умножим равенство на ωC и получим ω²LC = 1. Следовательно, резонансная циклическая частота ω₀ = 1/√(LC), а обычная частота ν₀ = 1/(2π√(LC)).
3. При настройке источника на ν₀ реактивные сопротивления компенсируются, и полное сопротивление последовательной цепи становится равным активному R. Ток достигает максимума; его амплитуда определяется напряжением источника и R, а не становится бесконечной.

Ответ: ν₀ = 1/(2π√(LC)); при резонансе ток максимален и ограничен активным сопротивлением.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что переменный ток обязательно меняет направление. Так происходит у гармонического тока, но определение переменного тока шире: достаточно периодического изменения силы тока, и направление не обязано меняться. Путают эти понятия, потому что в простых примерах обычно рассматривают синусоиду. Проверьте, следует ли смена направления из конкретного закона тока, а не только из слова «переменный».

Ошибка: принимать амплитудное значение за действующее. Амплитуда — наибольшее мгновенное значение, действующее значение характеризует тепловой эффект; для синусоиды последнее в √2 раза меньше. Их смешивают, когда используют одно слово «напряжение» без уточнения. Проверьте, что требуется найти, и при переходе используйте U = Uₘ/√2 или I = Iₘ/√2.

Ошибка: утверждать, что ток и напряжение всегда совпадают по фазе. Это верно для активного сопротивления, но не для конденсатора и катушки, где между величинами есть сдвиг π/2. Заблуждение возникает, если свойства резистора переносят на всю цепь. Сверьте элемент: ток опережает напряжение на конденсаторе и отстаёт на катушке.

Ошибка: считать ток при резонансе бесконечным. Компенсация Xₗ и X꜀ уменьшает полное сопротивление цепи, но активное сопротивление остаётся. Поэтому максимальный ток конечен и ограничивается R. Для проверки запишите полное сопротивление при резонансе: оно равно активному сопротивлению, а не нулю.

Связь с другими темами

Для описания переменного тока нужны понятия периодических и гармонических колебаний, амплитуды, периода, частоты и фазы. Свойства элементов опираются на знания о запасании энергии в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки, а также о превращении энергии в тепло на резисторе. Эти закономерности помогают понимать работу электрических цепей, трансформаторов и генераторов переменного тока. Они также объясняют, почему при передаче электроэнергии используют переменный ток.

Что запомнить

• В установившемся режиме частота вынужденных электромагнитных колебаний равна частоте источника.
• Действующее значение синусоидального тока равно амплитуде, делённой на √2.
• На активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.
• В конденсаторе и катушке энергия периодически запасается и возвращается в цепь.
• Резонанс возникает, когда индуктивное и ёмкостное сопротивления равны.
• Активное сопротивление ограничивает амплитуду тока при резонансе.