§ 8. Активное сопротивление

Определения и обозначения

Активное сопротивление — сопротивление участка цепи, на котором энергия электрического тока необратимо превращается во внутреннюю энергию проводника. Его обозначают R и измеряют в омах. Такое сопротивление описывает работу резистора или нагревательного элемента, где электрическая энергия расходуется на нагрев.

Закон Ома для участка цепи переменного тока с активным сопротивлением связывает действующие значения напряжения U и силы тока I: I = U/R. Действующие значения учитывают тепловое действие переменного тока и напряжения. Поэтому формула позволяет рассчитывать ток в резисторе так же просто, как в цепи постоянного тока.

Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, которое за то же время производит такое же тепловое действие. Его обозначают I, а максимальное мгновенное значение тока — Iₘ. Такое определение удобно, потому что позволяет сравнивать переменный и постоянный ток по нагреву проводника.

Активная мощность — средняя мощность, с которой электрическая энергия превращается в тепло на активном сопротивлении: P = UI = I²R = U²/R. Здесь U и I — действующие значения напряжения и тока. Формулы дают один результат, но позволяют выбрать известные в задаче величины.

Как это устроено

В проводнике движущиеся заряженные частицы взаимодействуют с частицами вещества и передают им часть энергии. Из-за этих столкновений проводник нагревается, поэтому электрическая энергия становится внутренней энергией. При чисто активном сопротивлении нет элемента, который накапливал бы энергию электрического поля или магнитного поля и затем отдавал её источнику. Поэтому переданная энергия расходуется на нагрев необратимо.

Для резистора в каждый момент выполняется закон Ома: u = Ri, где u и i — мгновенные значения. Если напряжение увеличивается, ток увеличивается пропорционально; если напряжение меняет знак, знак тока меняется одновременно. Следовательно, их синусоиды имеют одинаковые нули, максимумы и минимумы: говорят, что ток и напряжение совпадают по фазе. График ниже показывает это совпадение.

Закон Ома для постоянного тока можно применить к переменному, если рассматривать каждую пару мгновенных значений: i = u/R. Для синусоидального тока из этого сразу следует соотношение амплитуд Iₘ = Uₘ/R, потому что максимум напряжения приходится на тот же момент, что и максимум тока. Усредняя тепловое действие за период, получают такую же форму закона Ома для действующих значений: I = U/R. Важно не смешивать виды значений в одной записи.

Мгновенное значение показывает величину в конкретный момент времени, например u(t) = Uₘ sin(ωt). Амплитудное значение Uₘ — наибольшее по модулю значение за цикл, а действующее U характеризует тепловое действие. Для синусоиды U = Uₘ/√2 и I = Iₘ/√2; значит, амплитуда в √2 раза больше действующего значения. Эти соотношения применяются именно к синусоидальным величинам.

Мгновенная мощность равна p(t) = u(t)i(t), поэтому она меняется вслед за напряжением и током. При синусоидальном токе произведение двух синхронно меняющихся величин остаётся неотрицательным: энергия всё время передаётся резистору. Среднее значение p за период и есть активная мощность P. Подстановка действующих значений даёт P = UI, а закон Ома позволяет записать также P = I²R и P = U²/R.

Основные соотношения для цепи с активным сопротивлением

Сначала определи, какие значения даны в условии: мгновенные, амплитудные или действующие. Затем используй соответствующий столбец, не подставляя величины разных типов в одну формулу. Для расчёта теплового действия и средней мощности обычно удобнее действующие значения.

Разбор задач

Задача 1

К резистору сопротивлением 20 Ом подключено постоянное или действующее переменное напряжение 40 В. Найдём силу тока: в обоих вариантах применим закон Ома, поскольку для переменного тока дано действующее напряжение. Результат показывает действующее значение тока в случае переменного напряжения.

1. Записываем данные: R = 20 Ом, U = 40 В.
2. Применяем закон Ома: I = U/R = 40/20 = 2 А.
3. Проверяем единицы: вольт, делённый на ом, даёт ампер.

Ответ: I = 2 А; для переменного тока это действующее значение.

Задача 2

На активном сопротивлении напряжение меняется по закону u = 120 sin(100πt) В. Требуется записать закон изменения тока и найти его действующее значение при R = 30 Ом. Коэффициент при синусе — амплитуда напряжения, поэтому сначала найдём амплитуду тока. Так как сдвига фаз нет, функция тока сохранит тот же аргумент и знак.

1. Выделяем амплитуду напряжения: Uₘ = 120 В.
2. По закону Ома находим амплитуду тока: Iₘ = Uₘ/R = 120/30 = 4 А.
3. Записываем мгновенный ток с той же фазой: i = 4 sin(100πt) А.
4. Переходим к действующему значению: I = Iₘ/√2 = 4/√2 ≈ 2,83 А.

Ответ: i = 4 sin(100πt) А; I ≈ 2,83 А.

Задача 3

Нагреватель сопротивлением 44 Ом подключён к сети с действующим напряжением 220 В и работает 15 минут. Найдём ток, среднюю мощность и выделившуюся теплоту. Действующее значение напряжения можно прямо подставлять в закон Ома и формулу активной мощности. Время перед вычислением энергии переведём в секунды.

1. Записываем данные: R = 44 Ом, U = 220 В, t = 15 · 60 = 900 с.
2. Находим силу тока: I = U/R = 220/44 = 5 А.
3. Вычисляем мощность: P = UI = 220 · 5 = 1100 Вт.
4. Находим количество теплоты: Q = Pt = 1100 · 900 = 990 000 Дж = 990 кДж.

Ответ: I = 5 А, P = 1100 Вт, Q = 990 кДж.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что ток и напряжение на резисторе обязательно сдвинуты по фазе. Такое представление возникает из-за изучения цепей с катушками и конденсаторами, но у чисто активного сопротивления фаза одна и та же. Проверь себя по уравнению u = Ri: при положительном R напряжение и ток в каждый момент имеют одинаковый знак. Их сдвиг фаз равен нулю.

Ошибка: подставлять амплитудное напряжение в формулу P = U²/R, получая среднюю мощность. Эта формула для активной мощности использует действующее напряжение, а подстановка амплитуды завысит ответ в два раза. Если известна амплитуда, можно воспользоваться P = Uₘ²/(2R). Перед вычислением подпиши, какое именно напряжение дано.

Ошибка: путать мгновенные, амплитудные и действующие значения или смешивать их в одной формуле. Это часто происходит потому, что обозначения похожи, а различие не всегда указано в условии словами. Проверь размерность времени в записи u(t), наличие индекса m у амплитуды и деление на √2 при переходе к действующему значению синусоиды. Сравнивай только величины одного типа.

Ошибка: использовать P = UI для участка с реактивными элементами без учёта сдвига фаз. В такой цепи часть энергии может возвращаться источнику, поэтому произведение действующих напряжения и тока не всегда равно средней мощности. Для синусоидального режима учитывают коэффициент мощности: P = UI cos φ. Убедись, что нагрузка действительно чисто активная, прежде чем брать P = UI.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны закон Ома, работа и мощность постоянного тока, а также представление синусоидальных величин графиками. Закон Ома и формулы мощности позволяют рассчитывать цепи переменного тока с резисторами и бытовые нагревательные приборы. Позже сравнение резистора с катушкой и конденсатором поможет разобраться в полном сопротивлении и сдвиге фаз. При изучении коэффициента мощности станет понятно, почему в сложной цепи произведение U и I может отличаться от активной мощности.

Что запомнить

• Активное сопротивление необратимо превращает электрическую энергию в тепло.
• На чисто активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.
• Для действующих значений переменного тока выполняется I = U/R.
• Амплитудное значение синусоидального тока в √2 раза больше действующего.
• Активная мощность резистора равна P = UI = I²R = U²/R.
• Количество теплоты определяется произведением активной мощности на время: Q = Pt.
• В цепи с одним активным сопротивлением коэффициент мощности равен единице.